Question Number 185008 by paul2222 last updated on 15/Jan/23
Answered by witcher3 last updated on 26/Jan/23
$$\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \frac{\mathrm{x}}{\mathrm{1}+\mathrm{x}^{\mathrm{4}} }\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}=\mathrm{A},\mathrm{B}=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \frac{\mathrm{x}}{\mathrm{1}+\mathrm{x}^{\mathrm{4}} }\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}\right) \\ $$$$\mathrm{A}+\mathrm{B}=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \frac{\mathrm{x}}{\mathrm{1}+\mathrm{x}^{\mathrm{4}} }\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)\mathrm{dx}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}−\mathrm{t}\right)}{\mathrm{1}+\mathrm{t}^{\mathrm{2}} }\mathrm{dt} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int_{\mathrm{0}} ^{\frac{\pi}{\mathrm{4}}} \mathrm{ln}\left(\mathrm{cos}\left(\mathrm{t}\right)−\mathrm{sin}\left(\mathrm{t}\right)\right)−\mathrm{ln}\left(\mathrm{cos}\left(\mathrm{t}\right)\right)\mathrm{dt} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left\{\int_{\mathrm{0}} ^{\frac{\pi}{\mathrm{4}}} \mathrm{ln}\left(\sqrt{\mathrm{2}}\right)+\mathrm{ln}\left(\mathrm{sin}\left(\frac{\pi}{\mathrm{4}}−\mathrm{t}\right)\right)−\mathrm{ln}\left(\mathrm{cos}\left(\mathrm{t}\right)\right)\mathrm{dt}\right\} \\ $$$$=\frac{\pi}{\mathrm{16}}\mathrm{ln}\left(\mathrm{2}\right)+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int_{\mathrm{0}} ^{\frac{\pi}{\mathrm{4}}} \mathrm{ln}\left(\mathrm{tan}\:\left(\mathrm{x}\right)\right)\mathrm{dx}=\frac{\pi\mathrm{ln}\left(\mathrm{2}\right)}{\mathrm{16}}−\frac{\mathrm{C}}{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{B}−\mathrm{A}=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \frac{\mathrm{xln}\left(\frac{\mathrm{1}−\mathrm{x}}{\mathrm{1}+\mathrm{x}}\right)\mathrm{dx}}{\mathrm{1}+\mathrm{x}^{\mathrm{4}} };\frac{\mathrm{1}−\mathrm{x}}{\mathrm{1}+\mathrm{x}}=\mathrm{y} \\ $$$$\Leftrightarrow\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \frac{\frac{\mathrm{1}−\mathrm{y}}{\mathrm{1}+\mathrm{y}}}{\frac{\mathrm{2}+\mathrm{2y}^{\mathrm{4}} +\mathrm{12y}^{\mathrm{2}} }{\left(\mathrm{1}+\mathrm{y}\right)^{\mathrm{4}} }}.\frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{y}\right).\mathrm{2dy}}{\left(\mathrm{1}+\mathrm{y}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$$$=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \frac{\mathrm{1}−\mathrm{y}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{1}+\mathrm{y}^{\mathrm{4}} +\mathrm{6y}^{\mathrm{2}} }\mathrm{ln}\left(\mathrm{y}\right)\mathrm{dy}=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \frac{\mathrm{1}−\mathrm{y}^{\mathrm{2}} }{\left(\mathrm{y}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}−\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}\right)\left(\mathrm{y}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}+\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}\right)}\mathrm{ln}\left(\mathrm{y}\right)\mathrm{dy} \\ $$$$\mathrm{a}+\mathrm{b}=−\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{b}\left(\mathrm{3}+\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}\right)+\left(\mathrm{3}−\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}\right)\mathrm{a}=\mathrm{1} \\ $$$$\left(\mathrm{b}−\mathrm{a}\right)=\sqrt{\mathrm{2}},\mathrm{b}=\frac{−\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}},\mathrm{a}=\frac{−\mathrm{1}−\sqrt{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{A}−\mathrm{B}=\frac{−\mathrm{1}−\sqrt{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{y}\right)}{\mathrm{y}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}+\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}}\mathrm{dy}+\frac{−\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \frac{\boldsymbol{\mathrm{ln}}\left(\boldsymbol{\mathrm{y}}\right)}{\mathrm{y}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}−\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}}\mathrm{dy} \\ $$$$\mathrm{y}=\left(\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{2}}\right)\mathrm{t} \\ $$$$=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int_{\mathrm{0}} ^{\sqrt{\mathrm{2}}−\mathrm{1}} \frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{2}}\right)+\mathrm{ln}\left(\mathrm{t}\right)}{\mathrm{1}+\mathrm{t}^{\mathrm{2}} }\mathrm{dt}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int_{\mathrm{0}} ^{\sqrt{\mathrm{2}}+\mathrm{1}} \frac{\mathrm{ln}\left(\sqrt{\mathrm{2}}−\mathrm{1}\right)+\mathrm{ln}\left(\mathrm{t}\right)}{\mathrm{1}+\mathrm{t}^{\mathrm{2}} }\mathrm{dt} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int_{\sqrt{\mathrm{2}}−\mathrm{1}} ^{\sqrt{\mathrm{2}}+\mathrm{1}} \frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{t}\right)}{\mathrm{1}+\mathrm{t}^{\mathrm{2}} }\mathrm{dt}_{=\mathrm{S}} +\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\mathrm{ln}\left(\sqrt{\mathrm{2}}−\mathrm{1}\right)\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \left(\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{2}}\right)−\boldsymbol{\mathrm{ln}}\left(\sqrt{\mathrm{2}}+\mathrm{1}\right)\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \left(\sqrt{\mathrm{2}}−\mathrm{1}\right)\right) \\ $$$$\mathrm{S}=\mathrm{0} \\ $$$$\boldsymbol{\mathrm{ln}}\left(\sqrt{\mathrm{2}}−\mathrm{1}\right)=−\boldsymbol{\mathrm{ln}}\left(\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{2}}\right) \\ $$$$\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \left(\sqrt{\mathrm{2}}−\mathrm{1}\right)=\frac{\pi}{\mathrm{2}}−\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \left(\sqrt{\mathrm{2}}+\mathrm{1}\right) \\ $$$$\mathrm{A}−\mathrm{B}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(−\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{2}}\right).\frac{\pi}{\mathrm{2}}\right)=−\frac{\pi\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{2}}\right)}{\mathrm{4}} \\ $$$$\mathrm{A}−\mathrm{B}=−\frac{\pi\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{2}}\right)}{\mathrm{4}} \\ $$$$\mathrm{A}+\mathrm{B}=\frac{\pi\mathrm{ln}\left(\mathrm{2}\right)}{\mathrm{16}}−\frac{\mathrm{C}}{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{A}=\frac{\pi\mathrm{ln}\left(\mathrm{2}\right)}{\mathrm{32}}−\frac{\mathrm{C}}{\mathrm{4}}−\frac{\pi\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{2}}\right)}{\mathrm{8}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{32}}\left(\pi\mathrm{ln}\left(\mathrm{2}\right)−\mathrm{8C}−\mathrm{4}\pi\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{2}}\right)\right) \\ $$$$\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \frac{\mathrm{x}}{\mathrm{1}+\mathrm{x}^{\mathrm{4}} }\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}=\mathrm{A}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{32}}\left(\pi\mathrm{ln}\left(\mathrm{2}\right)−\mathrm{8C}−\mathrm{4}\pi\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{2}}\right)\right) \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$