Question Number 185395 by mathlove last updated on 21/Jan/23
Answered by witcher3 last updated on 21/Jan/23
$$\mathrm{x}^{\mathrm{4}} +\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}=\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{x}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{x}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right) \\ $$$$\left(\mathrm{2k}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} −\left(\mathrm{2k}+\mathrm{1}\right)+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}=\left(\mathrm{2k}\right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{2k}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}} \\ $$$$\left(\mathrm{2k}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} +\left(\mathrm{2k}+\mathrm{1}\right)+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}=\left(\mathrm{2k}\right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{6k}+\mathrm{2}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}} \\ $$$$\left(\mathrm{2k}+\mathrm{2}\right)^{\mathrm{2}} −\left(\mathrm{2k}+\mathrm{2}\right)+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}=\mathrm{4k}^{\mathrm{2}} +\mathrm{6k}+\mathrm{2}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}} \\ $$$$\frac{\underset{\mathrm{k}=\mathrm{0}} {\overset{\mathrm{9}} {\prod}}\left(\left(\mathrm{2k}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} +\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\right)}{\underset{\mathrm{k}=\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{10}} {\prod}}\left(\left(\mathrm{2k}\right)^{\mathrm{2}} +\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\right)}=\frac{.\underset{\mathrm{k}=\mathrm{0}} {\overset{\mathrm{9}} {\prod}}\left(\left(\mathrm{2k}\right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{2k}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)\left(\left(\mathrm{2k}\right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{6k}+\mathrm{2}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)}{\underset{\mathrm{k}=\mathrm{0}} {\overset{\mathrm{9}} {\prod}}\left(\left(\mathrm{2k}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{2k}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)\left(\left(\mathrm{2k}\right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{2k}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)} \\ $$$$=\underset{\mathrm{m}=\mathrm{0}} {\overset{\mathrm{9}} {\prod}}\frac{\left(\left(\mathrm{2k}\right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{6k}+\mathrm{2}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)}{\left(\mathrm{2k}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{2k}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}} \\ $$$$=\mathrm{2}.\frac{\underset{\mathrm{m}=\mathrm{0}} {\overset{\mathrm{9}} {\prod}}\left(\mathrm{4k}^{\mathrm{2}} +\mathrm{6k}+\mathrm{2}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)}{\underset{\mathrm{n}=\mathrm{0}} {\overset{\mathrm{8}} {\prod}}\left(\mathrm{4n}^{\mathrm{2}} +\mathrm{6n}+\mathrm{2}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)}=\mathrm{2}.\left(\mathrm{4}.\mathrm{9}^{\mathrm{2}} +\mathrm{6}.\mathrm{9}+\mathrm{2}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right) \\ $$$$=\mathrm{765} \\ $$
Commented by mathlove last updated on 21/Jan/23
$${thanks}\:{dear} \\ $$