Question Number 188336 by normans last updated on 28/Feb/23
Answered by mr W last updated on 16/Mar/23
Commented by mr W last updated on 16/Mar/23
![AF=(√((2k)^2 +(3k)^2 ))=(√(13))k DE=EF=(((√(13))k)/( (√2))) DB=3(√2)k cos ∠BDF=(((3(√2)k)^2 +((√(13))k)^2 −k^2 )/(2×3(√2)k×(√(13))k))=(5/( (√(26)))) EG=(((√(13))k)/( (√2))) sin (45°−∠BDF) =(((√(13))k)/( (√2)))×(1/( (√2)))×((5/( (√(26))))−(1/( (√(26)))))=(√2)k GF=(((√(13))k)/( (√2)))−(√2)k [CEG]=(((√2)k)/((((√(13))k)/( (√2)))−(√2)k))×10=((20)/( (√(13))−2)) sin ∠CEG=((2k)/(((√(13))k)/( (√2))))×sin 45°=(2/( (√(13)))) HG=(√2)k×(2/( (√(13))))=((2(√2)k)/( (√(13)))) GB=((3k)/( (√2)))−((2(√2)k)/( (√(13)))) [CHG]=(((2(√2)k)/( (√(13))))/(((3k)/( (√2)))−((2(√2)k)/( (√(13))))))×15=((60)/(3(√(13))−4)) yellow=15+((60)/(3(√(13))−4))−(((20)/( (√(13))−2))−((60)/(3(√(13))−4))) =15+((2×60)/(3(√(13))−4))−((20)/( (√(13))−2)) =((1220(√(13))+13915)/(909))≈20.147](https://www.tinkutara.com/question/Q189454.png)
$${AF}=\sqrt{\left(\mathrm{2}{k}\right)^{\mathrm{2}} +\left(\mathrm{3}{k}\right)^{\mathrm{2}} }=\sqrt{\mathrm{13}}{k} \\ $$$${DE}={EF}=\frac{\sqrt{\mathrm{13}}{k}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}} \\ $$$${DB}=\mathrm{3}\sqrt{\mathrm{2}}{k} \\ $$$$\mathrm{cos}\:\angle{BDF}=\frac{\left(\mathrm{3}\sqrt{\mathrm{2}}{k}\right)^{\mathrm{2}} +\left(\sqrt{\mathrm{13}}{k}\right)^{\mathrm{2}} −{k}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}×\mathrm{3}\sqrt{\mathrm{2}}{k}×\sqrt{\mathrm{13}}{k}}=\frac{\mathrm{5}}{\:\sqrt{\mathrm{26}}} \\ $$$${EG}=\frac{\sqrt{\mathrm{13}}{k}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}}\:\mathrm{sin}\:\left(\mathrm{45}°−\angle{BDF}\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:=\frac{\sqrt{\mathrm{13}}{k}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}}×\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}}×\left(\frac{\mathrm{5}}{\:\sqrt{\mathrm{26}}}−\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{26}}}\right)=\sqrt{\mathrm{2}}{k} \\ $$$${GF}=\frac{\sqrt{\mathrm{13}}{k}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}}−\sqrt{\mathrm{2}}{k} \\ $$$$\left[{CEG}\right]=\frac{\sqrt{\mathrm{2}}{k}}{\frac{\sqrt{\mathrm{13}}{k}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}}−\sqrt{\mathrm{2}}{k}}×\mathrm{10}=\frac{\mathrm{20}}{\:\sqrt{\mathrm{13}}−\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{sin}\:\angle{CEG}=\frac{\mathrm{2}{k}}{\frac{\sqrt{\mathrm{13}}{k}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}}}×\mathrm{sin}\:\mathrm{45}°=\frac{\mathrm{2}}{\:\sqrt{\mathrm{13}}} \\ $$$${HG}=\sqrt{\mathrm{2}}{k}×\frac{\mathrm{2}}{\:\sqrt{\mathrm{13}}}=\frac{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}{k}}{\:\sqrt{\mathrm{13}}} \\ $$$${GB}=\frac{\mathrm{3}{k}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}}−\frac{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}{k}}{\:\sqrt{\mathrm{13}}} \\ $$$$\left[{CHG}\right]=\frac{\frac{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}{k}}{\:\sqrt{\mathrm{13}}}}{\frac{\mathrm{3}{k}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}}−\frac{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}{k}}{\:\sqrt{\mathrm{13}}}}×\mathrm{15}=\frac{\mathrm{60}}{\mathrm{3}\sqrt{\mathrm{13}}−\mathrm{4}} \\ $$$${yellow}=\mathrm{15}+\frac{\mathrm{60}}{\mathrm{3}\sqrt{\mathrm{13}}−\mathrm{4}}−\left(\frac{\mathrm{20}}{\:\sqrt{\mathrm{13}}−\mathrm{2}}−\frac{\mathrm{60}}{\mathrm{3}\sqrt{\mathrm{13}}−\mathrm{4}}\right) \\ $$$$=\mathrm{15}+\frac{\mathrm{2}×\mathrm{60}}{\mathrm{3}\sqrt{\mathrm{13}}−\mathrm{4}}−\frac{\mathrm{20}}{\:\sqrt{\mathrm{13}}−\mathrm{2}} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1220}\sqrt{\mathrm{13}}+\mathrm{13915}}{\mathrm{909}}\approx\mathrm{20}.\mathrm{147} \\ $$