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Question-188645

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Question Number 188645 by Rupesh123 last updated on 04/Mar/23
Answered by witcher3 last updated on 05/Mar/23
let a=cos((π/7)),b=−cos(((2π)/7));c=cos(((3π)/7)) we want 1+a^3 +b^3 +c^3 +a^3 b^3 +a^3 c^3 +b^3 c^3 +a^3 b^3 c^3 =S Starte withe eq∵cos(3x)=−cos(4x)⇒cos(3x)=cos(π−4x) ⇔3x=π−4x+2kπ∨3x=4x−π+2kπ ⇔x_k =(π/7)(1+2k),k∈[0,6] cos(3x)=4cos^3 (x)−3cos(x) cos(4x)=2(2cos^2 (x)−1)^2 −1=8cos^4 (x)−8cos^2 (x)+1 ⇔−8cos^4 (x)−4cos^3 (x)+8cos^2 (x)+3cos(x)−1=0 cos(x_k ) root of cos((π/7)),cos(((3π)/7)),cos(((5π)/7))=−cos(((2π)/7)),cosπ=−1 cos(((9π)/7))=−cos(((2π)/7)),cos((11π)/7)=cos(((3π)/7));cos(((13π)/7))=cos((π/7)) ⇔{−1,cos(π/7),−cos(((2π)/7)),cos(((3π)/7))}root of −8X^4 −4X^3 +8x^2 +3x−1=0..(−1)root ⇔8x^4 −4x^3 +8x^2 +3x−1=(x+1)(−8x^3 +4x^2 +4x−1) ⇔{cos(π/7),−cos(((2π)/7)),cos(((3π)/7))}root of x^3 −(x^2 /2)+(x/2)+(1/8) a+b+c=(1/2),ab+bc+ac=−(1/2),abc=−(1/8) p_3 =a^3 +b^3 +c^3 ..Newtoon identie p_2 =e_1 p_1 −2e_2 =(1/4)+1=(5/4) p_3 =p_2 e_1 −e_2 p_1 +3e_3 =(5/8)+(1/4)−(3/8)=(1/2) ab+ac+bc=−(1/2) ab.ac+acbc+ab.bc=abc(a+b+c)=−(1/(16)) (abc)^2 =(1/(64)) p_2 =(1/4)+(1/8)=(3/8) p_3 ′=(3/8).−(1/2)−(1/(16)).(1/2)+(3/(64))=−((11)/(64)) P_3 ′′=(abc)^3 =−(1/(512)) S=1+p_3 +p_3 ′+p′′_3 =1+(1/2)−((11)/(64))−(1/(512)) =((85)/(64))−(1/(512))=((679)/(512)) ⇔Π_(k=0) ^2 (1+cos^3 (((2k+1)/7)π))=((679)/(512))
$$\mathrm{let}\:\mathrm{a}=\mathrm{cos}\left(\frac{\pi}{\mathrm{7}}\right),\mathrm{b}=−\mathrm{cos}\left(\frac{\mathrm{2}\pi}{\mathrm{7}}\right);\mathrm{c}=\mathrm{cos}\left(\frac{\mathrm{3}\pi}{\mathrm{7}}\right) \\ $$$$\mathrm{we}\:\mathrm{want}\:\mathrm{1}+\mathrm{a}^{\mathrm{3}} +\mathrm{b}^{\mathrm{3}} +\mathrm{c}^{\mathrm{3}} +\mathrm{a}^{\mathrm{3}} \mathrm{b}^{\mathrm{3}} +\mathrm{a}^{\mathrm{3}} \mathrm{c}^{\mathrm{3}} +\mathrm{b}^{\mathrm{3}} \mathrm{c}^{\mathrm{3}} +\mathrm{a}^{\mathrm{3}} \mathrm{b}^{\mathrm{3}} \mathrm{c}^{\mathrm{3}} =\mathrm{S} \\ $$$$\mathrm{Starte}\:\mathrm{withe} \\ $$$$\mathrm{eq}\because\mathrm{cos}\left(\mathrm{3x}\right)=−\mathrm{cos}\left(\mathrm{4x}\right)\Rightarrow\mathrm{cos}\left(\mathrm{3x}\right)=\mathrm{cos}\left(\pi−\mathrm{4x}\right) \\ $$$$\Leftrightarrow\mathrm{3x}=\pi−\mathrm{4x}+\mathrm{2k}\pi\vee\mathrm{3x}=\mathrm{4x}−\pi+\mathrm{2k}\pi \\ $$$$\Leftrightarrow\mathrm{x}_{\mathrm{k}} =\frac{\pi}{\mathrm{7}}\left(\mathrm{1}+\mathrm{2k}\right),\mathrm{k}\in\left[\mathrm{0},\mathrm{6}\right] \\ $$$$\mathrm{cos}\left(\mathrm{3x}\right)=\mathrm{4cos}^{\mathrm{3}} \left(\mathrm{x}\right)−\mathrm{3}\boldsymbol{\mathrm{cos}}\left(\boldsymbol{\mathrm{x}}\right) \\ $$$$\boldsymbol{\mathrm{cos}}\left(\mathrm{4}\boldsymbol{\mathrm{x}}\right)=\mathrm{2}\left(\mathrm{2cos}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{x}\right)−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}=\mathrm{8}\boldsymbol{\mathrm{cos}}^{\mathrm{4}} \left(\boldsymbol{\mathrm{x}}\right)−\mathrm{8}\boldsymbol{\mathrm{cos}}^{\mathrm{2}} \left(\boldsymbol{\mathrm{x}}\right)+\mathrm{1} \\ $$$$\Leftrightarrow−\mathrm{8cos}^{\mathrm{4}} \left(\mathrm{x}\right)−\mathrm{4cos}^{\mathrm{3}} \left(\mathrm{x}\right)+\mathrm{8cos}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{x}\right)+\mathrm{3cos}\left(\mathrm{x}\right)−\mathrm{1}=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{cos}\left(\mathrm{x}_{\mathrm{k}} \right)\:\mathrm{root}\:\mathrm{of} \\ $$$$\mathrm{cos}\left(\frac{\pi}{\mathrm{7}}\right),\mathrm{cos}\left(\frac{\mathrm{3}\pi}{\mathrm{7}}\right),\mathrm{cos}\left(\frac{\mathrm{5}\pi}{\mathrm{7}}\right)=−\mathrm{cos}\left(\frac{\mathrm{2}\pi}{\mathrm{7}}\right),\mathrm{cos}\pi=−\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{cos}\left(\frac{\mathrm{9}\pi}{\mathrm{7}}\right)=−\mathrm{cos}\left(\frac{\mathrm{2}\pi}{\mathrm{7}}\right),\mathrm{cos}\frac{\mathrm{11}\pi}{\mathrm{7}}=\mathrm{cos}\left(\frac{\mathrm{3}\pi}{\mathrm{7}}\right);\mathrm{cos}\left(\frac{\mathrm{13}\pi}{\mathrm{7}}\right)=\mathrm{cos}\left(\frac{\pi}{\mathrm{7}}\right) \\ $$$$\Leftrightarrow\left\{−\mathrm{1},\mathrm{cos}\frac{\pi}{\mathrm{7}},−\mathrm{cos}\left(\frac{\mathrm{2}\pi}{\mathrm{7}}\right),\mathrm{cos}\left(\frac{\mathrm{3}\pi}{\mathrm{7}}\right)\right\}\mathrm{root}\:\mathrm{of} \\ $$$$−\mathrm{8X}^{\mathrm{4}} −\mathrm{4X}^{\mathrm{3}} +\mathrm{8x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3x}−\mathrm{1}=\mathrm{0}..\left(−\mathrm{1}\right)\mathrm{root} \\ $$$$\Leftrightarrow\mathrm{8x}^{\mathrm{4}} −\mathrm{4x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{8x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3x}−\mathrm{1}=\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)\left(−\mathrm{8x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{4x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{4x}−\mathrm{1}\right) \\ $$$$\Leftrightarrow\left\{\mathrm{cos}\frac{\pi}{\mathrm{7}},−\mathrm{cos}\left(\frac{\mathrm{2}\pi}{\mathrm{7}}\right),\mathrm{cos}\left(\frac{\mathrm{3}\pi}{\mathrm{7}}\right)\right\}\mathrm{root}\:\mathrm{of} \\ $$$$\mathrm{x}^{\mathrm{3}} −\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}} \\ $$$$\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}},\mathrm{ab}+\mathrm{bc}+\mathrm{ac}=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}},\mathrm{abc}=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}} \\ $$$$\mathrm{p}_{\mathrm{3}} =\mathrm{a}^{\mathrm{3}} +\mathrm{b}^{\mathrm{3}} +\mathrm{c}^{\mathrm{3}} ..\mathrm{Newtoon}\:\mathrm{identie}\: \\ $$$$\mathrm{p}_{\mathrm{2}} =\mathrm{e}_{\mathrm{1}} \mathrm{p}_{\mathrm{1}} −\mathrm{2e}_{\mathrm{2}} =\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}+\mathrm{1}=\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{4}} \\ $$$$\mathrm{p}_{\mathrm{3}} =\mathrm{p}_{\mathrm{2}} \mathrm{e}_{\mathrm{1}} −\mathrm{e}_{\mathrm{2}} \mathrm{p}_{\mathrm{1}} +\mathrm{3e}_{\mathrm{3}} =\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{8}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{8}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{ab}+\mathrm{ac}+\mathrm{bc}=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{ab}.\mathrm{ac}+\mathrm{acbc}+\mathrm{ab}.\mathrm{bc}=\mathrm{abc}\left(\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}\right)=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{16}} \\ $$$$\left(\mathrm{abc}\right)^{\mathrm{2}} =\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{64}} \\ $$$$\mathrm{p}_{\mathrm{2}} =\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}=\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{8}} \\ $$$$\mathrm{p}_{\mathrm{3}} '=\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{8}}.−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{16}}.\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{64}}=−\frac{\mathrm{11}}{\mathrm{64}} \\ $$$$\mathrm{P}_{\mathrm{3}} ''=\left(\mathrm{abc}\right)^{\mathrm{3}} =−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{512}} \\ $$$$\mathrm{S}=\mathrm{1}+\mathrm{p}_{\mathrm{3}} +\mathrm{p}_{\mathrm{3}} '+\mathrm{p}''_{\mathrm{3}} =\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}−\frac{\mathrm{11}}{\mathrm{64}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{512}} \\ $$$$=\frac{\mathrm{85}}{\mathrm{64}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{512}}=\frac{\mathrm{679}}{\mathrm{512}} \\ $$$$\Leftrightarrow\underset{\mathrm{k}=\mathrm{0}} {\overset{\mathrm{2}} {\prod}}\left(\mathrm{1}+\mathrm{cos}^{\mathrm{3}} \left(\frac{\mathrm{2k}+\mathrm{1}}{\mathrm{7}}\pi\right)\right)=\frac{\mathrm{679}}{\mathrm{512}} \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$
Commented by Rupesh123 last updated on 06/Mar/23
Good job, sir!
Commented by witcher3 last updated on 06/Mar/23
thank You Sir god bless You
$$\mathrm{thank}\:\mathrm{You}\:\mathrm{Sir} \\ $$$$\mathrm{god}\:\mathrm{bless}\:\mathrm{You} \\ $$

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