Question Number 189323 by mnjuly1970 last updated on 14/Mar/23
Answered by witcher3 last updated on 14/Mar/23
$$\Leftrightarrow\Sigma\frac{\Gamma\left(\mathrm{n}\right)\Gamma\left(\mathrm{n}\right)}{\Gamma\left(\mathrm{2n}\right).\mathrm{2}^{−\mathrm{n}} }=\underset{\mathrm{n}\geqslant\mathrm{1}} {\sum}\frac{\beta\left(\mathrm{n},\mathrm{n}\right)}{\mathrm{2}^{−\mathrm{n}} } \\ $$$$=\underset{\mathrm{n}\geqslant\mathrm{1}} {\sum}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \frac{\mathrm{x}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} }{\mathrm{2}^{−\mathrm{n}} \:} \\ $$$$=\mathrm{2}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \underset{\mathrm{n}\geqslant\mathrm{0}} {\sum}\left(\mathrm{2x}\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)\right)^{\mathrm{n}} \\ $$$$\mathrm{2x}\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)<\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}} \\ $$$$=\mathrm{2}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}−\mathrm{2x}\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)} \\ $$$$=\mathrm{2}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{2x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2x}+\mathrm{1}} \\ $$$$=\mathrm{2}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{2}\left(\left(\mathrm{x}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\right)}=\mathrm{4}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \frac{\mathrm{dx}}{\left(\mathrm{2x}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}} \\ $$$$=\mathrm{4tan}^{−\mathrm{1}} \left(\mathrm{1}\right)=\pi \\ $$