Question Number 189463 by Rupesh123 last updated on 17/Mar/23
Answered by witcher3 last updated on 17/Mar/23
$$\mathrm{cos}\left(\mathrm{60}+\mathrm{20}\right) \\ $$$$\mathrm{cos}\left(\mathrm{40}\right)=\mathrm{cos}\left(\mathrm{60}−\mathrm{20}\right) \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\mathrm{cos}\left(\mathrm{20}\right)+\sqrt{\mathrm{3}}\mathrm{sin}\left(\mathrm{20}\right)\right) \\ $$$$\mathrm{cos80}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\mathrm{cos}\left(\mathrm{20}\right)−\sqrt{\mathrm{3}}\mathrm{sin}\left(\mathrm{20}\right)\right) \\ $$$$=\left(\left(\mathrm{3cos}\left(\mathrm{20}\right)−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{27sin}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{20}\right)\right)\left(\mathrm{6cos}\left(\mathrm{20}\right)+\mathrm{1}\right) \\ $$$$=\left(\mathrm{36cos}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{20}\right)−\mathrm{6cos}\left(\mathrm{20}\right)−\mathrm{26}\right)\left(\mathrm{6cos}\left(\mathrm{20}\right)+\mathrm{1}\right) \\ $$$$\mathrm{c}=\mathrm{cos20}\Leftrightarrow \\ $$$$=\mathrm{216c}^{\mathrm{3}} −\mathrm{162c}−\mathrm{26}=\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{216c}^{\mathrm{3}} −\mathrm{162c}−\mathrm{27}=\mathrm{0} \\ $$$$\Leftrightarrow\mathrm{8c}^{\mathrm{3}} −\mathrm{6c}−\mathrm{1}=\mathrm{0}…\left(\mathrm{E}\right) \\ $$$$\mathrm{cos}\left(\mathrm{3}.\mathrm{20}\right)=\mathrm{4cos}^{\mathrm{3}} \left(\mathrm{20}\right)−\mathrm{3cos}\left(\mathrm{20}\right)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}} \\ $$$$\Leftrightarrow\mathrm{8cos}^{\mathrm{3}} \left(\mathrm{20}\right)−\mathrm{6cos}\left(\mathrm{20}\right)−\mathrm{1}=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{heins}\:\mathrm{E}\:\:\:\mathrm{True}\Leftrightarrow \\ $$$$\left(\mathrm{6cos80}−\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{6cos}\left(\mathrm{40}\right)−\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{6cos}\left(\mathrm{20}\right)+\mathrm{1}\right)=\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{c} \\ $$
Commented by Rupesh123 last updated on 18/Mar/23
Excellent!
Commented by witcher3 last updated on 18/Mar/23
$$\mathrm{thank}\:\mathrm{You}\:\mathrm{God}\:\mathrm{bless}\:\mathrm{You} \\ $$