Question Number 189603 by normans last updated on 19/Mar/23
Answered by a.lgnaoui last updated on 19/Mar/23
![△ADF: ∡ADF=90−18=72 ((sin 18)/(DF))=((sin 72)/(AF)) (1) △ABF : ∡BAF=48+18=66; ∡ABF=90−66=24 ((sin 24)/(AF))=((sin 66)/(BF)) BF=BD+DF=6+DF ((sin 24)/(AF))=((sin 66)/(6+DF)) (2) (1) (2)⇒ { ((DF=((AFsin 18)/(sin 72)) (3))),((6sin 24+DFsin 24=AFsin 66)) :} DF=((AFsin 66−6sin 66)/(sin 24)) (4) AFsin 18sin 24=AFsin 72sin 66−6sin 72sin 66 6sin 72sin 66=AF(sin 72sin 66−sin 18sin 24) AF=((6sin 72sin 66)/(sin 72sin 66−sin 18sin 24)) AF=(/) ⇒DF=(/) AD=DFsin 18= (5) △(FCD) ∡CDF=90−x CD^2 =FC^2 +FD^2 =FD^2 +CD^2 cos^2 x CD=((FD)/(sin x)) △ACD ((sin x)/(AD)) =((sin (18+x))/(AC)) ((sin x)/(DFsin 18))=((sin (18+x))/(AF+((DF)/(tan x)))) AFsin X+DFcos X=DFsin 18(sin 18cos x+cos 18sin x) sin x(AF−DFsin 18cos 18)=cos x(DFsin^2 18−DF) tan x=((DF(sin^2 18−1))/(AF−DFsin 18cos 18)) tan x= [((DFsin 28)/(AF(1−((DF)/(2AF))sin 36))] ((DF)/(AF))=((sin 18)/(sin 72)) =((DF)/(AF))×((−cos^2 18)/((2AF−DFsin 36)))×2AF =((2DFcos^2 18 )/(DFsin 36−2AF)) tan x=((2DFcos^2 18)/(DF(sin 36−((2AF)/(DF))))) =((2cos^2 18)/((sin 36−2((sin 72)/(sin 18))))) tan x =0,3249196... x=18°](https://www.tinkutara.com/question/Q189646.png)
$$\bigtriangleup{ADF}:\:\:\:\:\:\measuredangle{ADF}=\mathrm{90}−\mathrm{18}=\mathrm{72} \\ $$$$\:\frac{\mathrm{sin}\:\mathrm{18}}{\mathrm{DF}}=\frac{\mathrm{sin}\:\mathrm{72}}{\mathrm{AF}}\:\:\:\:\:\:\:\left(\mathrm{1}\right) \\ $$$$\:\bigtriangleup{ABF}\::\:\:\measuredangle{BAF}=\mathrm{48}+\mathrm{18}=\mathrm{66};\:\:\measuredangle{ABF}=\mathrm{90}−\mathrm{66}=\mathrm{24} \\ $$$$\frac{\mathrm{sin}\:\mathrm{24}}{\mathrm{AF}}=\frac{\mathrm{sin}\:\mathrm{66}}{\mathrm{BF}}\:\:\:\:\mathrm{BF}=\mathrm{BD}+\mathrm{DF}=\mathrm{6}+\mathrm{DF} \\ $$$$\frac{\mathrm{sin}\:\mathrm{24}}{\mathrm{AF}}=\frac{\mathrm{sin}\:\mathrm{66}}{\mathrm{6}+\mathrm{DF}}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\left(\mathrm{2}\right) \\ $$$$\left(\mathrm{1}\right)\:\left(\mathrm{2}\right)\Rightarrow\begin{cases}{\mathrm{DF}=\frac{\mathrm{AFsin}\:\mathrm{18}}{\mathrm{sin}\:\mathrm{72}}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\left(\mathrm{3}\right)}\\{\mathrm{6sin}\:\mathrm{24}+\mathrm{DFsin}\:\mathrm{24}=\mathrm{AFsin}\:\mathrm{66}}\end{cases} \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{DF}=\frac{\mathrm{AFsin}\:\mathrm{66}−\mathrm{6sin}\:\mathrm{66}}{\mathrm{sin}\:\mathrm{24}}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\left(\mathrm{4}\right) \\ $$$$\mathrm{AFsin}\:\mathrm{18sin}\:\mathrm{24}=\mathrm{AFsin}\:\mathrm{72sin}\:\mathrm{66}−\mathrm{6sin}\:\mathrm{72sin}\:\mathrm{66} \\ $$$$\mathrm{6sin}\:\mathrm{72sin}\:\mathrm{66}=\mathrm{AF}\left(\mathrm{sin}\:\mathrm{72sin}\:\mathrm{66}−\mathrm{sin}\:\mathrm{18sin}\:\mathrm{24}\right) \\ $$$$\mathrm{AF}=\frac{\mathrm{6sin}\:\mathrm{72sin}\:\mathrm{66}}{\mathrm{sin}\:\mathrm{72sin}\:\mathrm{66}−\mathrm{sin}\:\mathrm{18sin}\:\mathrm{24}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{AF}=\frac{}{}\:\:\:\:\Rightarrow{DF}=\frac{}{} \\ $$$$\mathrm{AD}=\mathrm{DFsin}\:\mathrm{18}=\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\left(\mathrm{5}\right) \\ $$$$\bigtriangleup\left({FCD}\right)\:\:\:\measuredangle{CDF}=\mathrm{90}−{x} \\ $$$${CD}^{\mathrm{2}} ={FC}^{\mathrm{2}} +{FD}^{\mathrm{2}} ={FD}^{\mathrm{2}} +{CD}^{\mathrm{2}} \mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \:{x} \\ $$$${CD}=\frac{{FD}}{\mathrm{sin}\:{x}} \\ $$$$ \\ $$$$\bigtriangleup{ACD}\:\:\:\:\:\:\frac{\mathrm{sin}\:{x}}{\mathrm{AD}}\:=\frac{\mathrm{sin}\:\left(\mathrm{18}+{x}\right)}{{AC}} \\ $$$$\frac{\mathrm{sin}\:{x}}{{DF}\mathrm{sin}\:\mathrm{18}}=\frac{\mathrm{sin}\:\left(\mathrm{18}+\boldsymbol{{x}}\right)}{{AF}+\frac{\mathrm{DF}}{\mathrm{tan}\:{x}}} \\ $$$$\mathrm{AFsin}\:\mathrm{X}+\mathrm{DFcos}\:\mathrm{X}=\mathrm{DFsin}\:\mathrm{18}\left(\mathrm{sin}\:\mathrm{18cos}\:{x}+\mathrm{cos}\:\mathrm{18sin}\:{x}\right) \\ $$$$\mathrm{sin}\:{x}\left(\mathrm{AF}−\mathrm{DFsin}\:\mathrm{18cos}\:\mathrm{18}\right)=\mathrm{cos}\:{x}\left(\mathrm{DFsin}\:^{\mathrm{2}} \mathrm{18}−\mathrm{DF}\right) \\ $$$$\: \\ $$$$\:\mathrm{tan}\:{x}=\frac{{DF}\left(\mathrm{sin}\:^{\mathrm{2}} \mathrm{18}−\mathrm{1}\right)}{{AF}−{DF}\mathrm{sin}\:\mathrm{18cos}\:\mathrm{18}} \\ $$$$ \\ $$$$\:\:\:\:\:\mathrm{tan}\:{x}=\:\:\:\:\:\left[\frac{{DF}\mathrm{sin}\:\mathrm{28}}{{AF}\left(\mathrm{1}−\frac{{DF}}{\mathrm{2}{AF}}\mathrm{sin}\:\mathrm{36}\right.}\right] \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\frac{{DF}}{{AF}}=\frac{\mathrm{sin}\:\mathrm{18}}{\mathrm{sin}\:\mathrm{72}}\:\: \\ $$$$=\frac{{DF}}{{AF}}×\frac{−\mathrm{cos}\:^{\mathrm{2}} \mathrm{18}}{\left(\mathrm{2}{AF}−{DF}\mathrm{sin}\:\mathrm{36}\right)}×\mathrm{2}{AF} \\ $$$$=\frac{\mathrm{2}{DF}\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \mathrm{18}\:}{{DF}\mathrm{sin}\:\mathrm{36}−\mathrm{2}{AF}} \\ $$$$\mathrm{tan}\:{x}=\frac{\mathrm{2}{DF}\mathrm{cos}\:^{\mathrm{2}} \mathrm{18}}{{DF}\left(\mathrm{sin}\:\mathrm{36}−\frac{\mathrm{2}{AF}}{{DF}}\right)} \\ $$$$=\frac{\mathrm{2cos}\:^{\mathrm{2}} \mathrm{18}}{\left(\mathrm{sin}\:\mathrm{36}−\mathrm{2}\frac{\mathrm{sin}\:\mathrm{72}}{\mathrm{sin}\:\mathrm{18}}\right)} \\ $$$$\:\:\mathrm{tan}\:{x}\:\:=\mathrm{0},\mathrm{3249196}… \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:{x}=\mathrm{18}° \\ $$$$ \\ $$
Commented by mr W last updated on 19/Mar/23
$${if}\:{x}=\mathrm{18}°,\:{then}\:{it}'{s}\:{symmetric},\:{then} \\ $$$$\mathrm{24}°=\mathrm{6}°\:\Rightarrow{therefore}\:{totally}\:{wrong}! \\ $$
Commented by a.lgnaoui last updated on 19/Mar/23
Commented by normans last updated on 20/Mar/23
$${no}\: \\ $$
Answered by mr W last updated on 19/Mar/23
$${say}\:{AF}=\mathrm{1} \\ $$$${DF}=\mathrm{tan}\:\mathrm{18} \\ $$$${BF}=\mathrm{tan}\:\left(\mathrm{48}+\mathrm{18}\right)=\mathrm{tan}\:\mathrm{66} \\ $$$${FC}={BF}×\mathrm{tan}\:\mathrm{6}=\mathrm{tan}\:\mathrm{66}×\mathrm{tan}\:\mathrm{6} \\ $$$$\mathrm{tan}\:{x}=\frac{{DF}}{{FC}}=\frac{\mathrm{tan}\:\mathrm{18}}{\mathrm{tan}\:\mathrm{66}×\mathrm{tan}\:\mathrm{6}} \\ $$$$\Rightarrow{x}=\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \left(\frac{\mathrm{tan}\:\mathrm{18}}{\mathrm{tan}\:\mathrm{66}×\mathrm{tan}\:\mathrm{6}}\right)=\mathrm{54}° \\ $$