Question Number 190925 by sonukgindia last updated on 14/Apr/23
Commented by Frix last updated on 14/Apr/23
$${x}=\frac{\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{5}}}{\mathrm{2}} \\ $$
Answered by ibrahimabdullayev last updated on 14/Apr/23
$$ \\ $$$${Solution}:{Ibrahim}\:{Abdullayev} \\ $$$$\left({x}−\frac{\mathrm{1}}{{x}}\right)^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}} −\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{{x}}\right)^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}} =\frac{{x}−\mathrm{1}}{{x}} \\ $$$$\left({x}−\frac{\mathrm{1}}{{x}}\right)^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}} +\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{{x}}\right)^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}} ={x} \\ $$$$\mathrm{2}\left({x}−\frac{\mathrm{1}}{{x}}\right)^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}} =\frac{{x}^{\mathrm{2}} +{x}−\mathrm{1}}{{x}} \\ $$$$\frac{\mathrm{4}{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4}}{{x}}=\frac{\left({x}^{\mathrm{2}} +{x}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }{{x}^{\mathrm{2}} }\: \\ $$$$\:{x}^{\mathrm{4}} −\mathrm{2}{x}^{\mathrm{3}} −{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}{x}+\mathrm{1}=\mathrm{0} \\ $$$${x}^{\mathrm{2}} +\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{2}} }−\mathrm{2}\left({x}−\frac{\mathrm{1}}{{x}}\right)−\mathrm{1}=\mathrm{0} \\ $$$${x}−\frac{\mathrm{1}}{{x}}={t}\:\Rightarrow\:{t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}{t}+\mathrm{1}=\mathrm{0}\:\Rightarrow\:{t}=\mathrm{1} \\ $$$${x}−\frac{\mathrm{1}}{{x}}=\mathrm{1}\Rightarrow\:{x}^{\mathrm{2}} −{x}−\mathrm{1}=\mathrm{0}\:\Rightarrow{x}=\frac{\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{5}}}{\mathrm{2}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:{x}=\frac{\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{5}}}{\mathrm{2}} \\ $$