Question Number 192348 by leandrosriv02 last updated on 15/May/23
Answered by mehdee42 last updated on 15/May/23
$${AB}=\sqrt{{a}^{\mathrm{2}} +{b}^{\mathrm{2}} } \\ $$$${M}\:\:{is}\:{midpoint}\:<{AB}>\Rightarrow{M}\left(\frac{{a}}{\mathrm{2}}\:,\:\frac{{b}}{\mathrm{2}}\right) \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{0}{M}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\sqrt{{a}^{\mathrm{2}} +{b}^{\mathrm{2}} }\:\Rightarrow{OM}={BM}={AM} \\ $$$${tip}\:\therefore\: \\ $$$${middle}\:{of}\:{the}\:{chord}\:,{is}\:{equal}\:{to}\:{half}\:{the}\:{chord} \\ $$
Answered by Nimnim111118 last updated on 15/May/23
$$\mathrm{AB}=\sqrt{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{b}^{\mathrm{2}} }\:\Rightarrow\:\mathrm{AM}=\mathrm{BM}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\sqrt{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{b}^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\mathrm{Coordinate}\:\mathrm{of}\:\mathrm{M}=\left(\frac{\mathrm{a}+\mathrm{0}}{\mathrm{2}},\frac{\mathrm{0}+\mathrm{b}}{\mathrm{2}}\right)=\left(\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{2}},\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{2}}\right) \\ $$$$\mathrm{then}\:\mathrm{CM}=\sqrt{\left(\mathrm{0}−\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{2}} +\left(\mathrm{0}−\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{2}} }=\sqrt{\frac{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{4}}+\frac{\mathrm{b}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{4}}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\sqrt{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{b}^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\therefore\:\mathrm{AM}=\mathrm{BM}=\mathrm{CM}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\sqrt{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{b}^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\mathrm{Hence},\:\mathrm{M}\:\mathrm{is}\:\mathrm{equidistant}\:\mathrm{from}\:\mathrm{the}\:\mathrm{vertices}\:\mathrm{of}\:\bigtriangleup\mathrm{ABC}. \\ $$