Question Number 192918 by MATHEMATICSAM last updated on 31/May/23
Answered by aba last updated on 31/May/23
$$\mathrm{x}+\mathrm{1}=\mathrm{log}_{\mathrm{2a}} \left(\frac{\mathrm{bcd}}{\mathrm{2}}\right)+\mathrm{1}=\mathrm{log}_{\mathrm{2a}} \left(\frac{\mathrm{bcd}}{\mathrm{2}}\right)+\mathrm{log}_{\mathrm{2a}} \left(\mathrm{2a}\right)=\mathrm{log}_{\mathrm{2a}} \left(\mathrm{abcd}\right)\:\Rightarrow\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}+\mathrm{1}}=\mathrm{log}_{\mathrm{abcd}} \left(\mathrm{2a}\right) \\ $$$$\mathrm{y}+\mathrm{1}=\mathrm{log}_{\mathrm{3b}} \left(\frac{\mathrm{acd}}{\mathrm{3}}\right)+\mathrm{1}=\mathrm{log}_{\mathrm{3b}} \left(\mathrm{abcd}\right)\Rightarrow\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{y}+\mathrm{1}}=\mathrm{log}_{\mathrm{abcd}} \left(\mathrm{3b}\right) \\ $$$$\mathrm{z}+\mathrm{1}=\mathrm{log}_{\mathrm{4c}} \left(\frac{\mathrm{abd}}{\mathrm{4}}\right)+\mathrm{1}=\mathrm{log}_{\mathrm{4c}} \left(\mathrm{abcd}\right)\Rightarrow\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{z}+\mathrm{1}}=\mathrm{log}_{\mathrm{abcd}} \left(\mathrm{4c}\right) \\ $$$$\mathrm{p}+\mathrm{1}=\mathrm{log}_{\mathrm{5d}} \left(\frac{\mathrm{abc}}{\mathrm{5}}\right)+\mathrm{1}=\mathrm{log}_{\mathrm{5d}} \left(\mathrm{abcd}\right)\Rightarrow\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{p}+\mathrm{1}}=\mathrm{log}_{\mathrm{abcd}} \left(\mathrm{5d}\right) \\ $$$$\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}+\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{y}+\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{z}+\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{p}+\mathrm{1}}=\mathrm{log}_{\mathrm{abcd}} \left(\mathrm{5}!\mathrm{abcd}\right)=\mathrm{log}_{\mathrm{abcd}} \left(\mathrm{5}!\right)+\mathrm{1} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{log}_{\mathrm{abcd}} \left(\mathrm{5}!\right)+\mathrm{1}=\mathrm{log}_{\mathrm{abcd}} \left(\mathrm{N}\right)+\mathrm{1}\:\Rightarrow\:\mathrm{N}=\mathrm{5}!=\mathrm{120} \\ $$