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Question-19884

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Question Number 19884 by ajfour last updated on 17/Aug/17
Commented by ajfour last updated on 17/Aug/17
A(x_1 ,y_1 ) ; B(x_2 ,y_2 ) ; C(x_3 ,y_3 ) ; D(x_4 ,y_4 ) . Let P(x_0 ,y_0 ) . Find λ, μ, x_0 , y_0 in terms of coordinates of points A, B, C , D .
$$\:\:{A}\left({x}_{\mathrm{1}} ,{y}_{\mathrm{1}} \right)\:;\:\:{B}\left({x}_{\mathrm{2}} ,{y}_{\mathrm{2}} \right)\:\:;\:{C}\left({x}_{\mathrm{3}} ,{y}_{\mathrm{3}} \right)\:\:; \\ $$$$\:\:{D}\left({x}_{\mathrm{4}} ,{y}_{\mathrm{4}} \right)\:.\:{Let}\:{P}\left({x}_{\mathrm{0}} ,{y}_{\mathrm{0}} \right)\:. \\ $$$${Find}\:\:\lambda,\:\mu,\:{x}_{\mathrm{0}} ,\:{y}_{\mathrm{0}} \:\:{in}\:{terms}\:{of} \\ $$$${coordinates}\:{of}\:{points}\:{A},\:{B},\:{C}\:,\:{D}\:. \\ $$
Answered by mrW1 last updated on 17/Aug/17
s=AB^(→) =(x_2 −x_1 )i+(y_2 −y_1 )j r=CD^(→) =(x_4 −x_3 )i+(y_4 −y_3 )j P=A+λs=C+μr ⇒λ(s×r)=(C−A)×r ⇒λ=(((x_3 −x_1 )(y_4 −y_3 )−(x_4 −y_3 )(y_3 −y_1 ))/((x_2 −x_1 )(y_4 −y_3 )−(x_4 −x_3 )(y_2 −y_1 ))) ⇒(A−C)×s=μ(r×s) ⇒μ=(((x_1 −x_3 )(y_2 −y_1 )−(x_2 −x_1 )(y_1 −y_3 ))/((x_4 −x_3 )(y_2 −y_1 )−(x_2 −x_1 )(y_4 −y_3 ))) P=A+λs x_0 =x_1 +(((x_3 −x_1 )(y_4 −y_3 )−(x_4 −y_3 )(y_3 −y_1 ))/((x_2 −x_1 )(y_4 −y_3 )−(x_4 −x_3 )(y_2 −y_1 )))×(x_2 −x_1 ) =(((x_2 y_1 −x_1 y_2 )(x_4 −x_3 )−(x_4 y_3 −x_3 y_4 )(x_2 −x_1 ))/((x_2 −x_1 )(y_4 −y_3 )−(x_4 −x_3 )(y_2 −y_1 ))) y_0 =y_1 +(((x_3 −x_1 )(y_4 −y_3 )−(x_4 −y_3 )(y_3 −y_1 ))/((x_2 −x_1 )(y_4 −y_3 )−(x_4 −x_3 )(y_2 −y_1 )))×(y_2 −y_1 ) =(((x_2 y_1 −x_1 y_2 )(y_4 −y_3 )−(x_4 y_3 −x_3 y_4 )(y_2 −y_1 ))/((x_2 −x_1 )(y_4 −y_3 )−(x_4 −x_3 )(y_2 −y_1 )))
$$\boldsymbol{\mathrm{s}}=\overset{\rightarrow} {\mathrm{AB}}=\left(\mathrm{x}_{\mathrm{2}} −\mathrm{x}_{\mathrm{1}} \right)\mathrm{i}+\left(\mathrm{y}_{\mathrm{2}} −\mathrm{y}_{\mathrm{1}} \right)\mathrm{j} \\ $$$$\boldsymbol{\mathrm{r}}=\overset{\rightarrow} {\mathrm{CD}}=\left(\mathrm{x}_{\mathrm{4}} −\mathrm{x}_{\mathrm{3}} \right)\mathrm{i}+\left(\mathrm{y}_{\mathrm{4}} −\mathrm{y}_{\mathrm{3}} \right)\mathrm{j} \\ $$$$ \\ $$$$\boldsymbol{\mathrm{P}}=\mathrm{A}+\lambda\boldsymbol{\mathrm{s}}=\boldsymbol{\mathrm{C}}+\mu\boldsymbol{\mathrm{r}} \\ $$$$ \\ $$$$\Rightarrow\lambda\left(\boldsymbol{\mathrm{s}}×\boldsymbol{\mathrm{r}}\right)=\left(\boldsymbol{\mathrm{C}}−\mathrm{A}\right)×\boldsymbol{\mathrm{r}} \\ $$$$\Rightarrow\lambda=\frac{\left(\mathrm{x}_{\mathrm{3}} −\mathrm{x}_{\mathrm{1}} \right)\left(\mathrm{y}_{\mathrm{4}} −\mathrm{y}_{\mathrm{3}} \right)−\left(\mathrm{x}_{\mathrm{4}} −\mathrm{y}_{\mathrm{3}} \right)\left(\mathrm{y}_{\mathrm{3}} −\mathrm{y}_{\mathrm{1}} \right)}{\left(\mathrm{x}_{\mathrm{2}} −\mathrm{x}_{\mathrm{1}} \right)\left(\mathrm{y}_{\mathrm{4}} −\mathrm{y}_{\mathrm{3}} \right)−\left(\mathrm{x}_{\mathrm{4}} −\mathrm{x}_{\mathrm{3}} \right)\left(\mathrm{y}_{\mathrm{2}} −\mathrm{y}_{\mathrm{1}} \right)} \\ $$$$ \\ $$$$\Rightarrow\left(\mathrm{A}−\mathrm{C}\right)×\boldsymbol{\mathrm{s}}=\mu\left(\boldsymbol{\mathrm{r}}×\boldsymbol{\mathrm{s}}\right) \\ $$$$\Rightarrow\mu=\frac{\left(\mathrm{x}_{\mathrm{1}} −\mathrm{x}_{\mathrm{3}} \right)\left(\mathrm{y}_{\mathrm{2}} −\mathrm{y}_{\mathrm{1}} \right)−\left(\mathrm{x}_{\mathrm{2}} −\mathrm{x}_{\mathrm{1}} \right)\left(\mathrm{y}_{\mathrm{1}} −\mathrm{y}_{\mathrm{3}} \right)}{\left(\mathrm{x}_{\mathrm{4}} −\mathrm{x}_{\mathrm{3}} \right)\left(\mathrm{y}_{\mathrm{2}} −\mathrm{y}_{\mathrm{1}} \right)−\left(\mathrm{x}_{\mathrm{2}} −\mathrm{x}_{\mathrm{1}} \right)\left(\mathrm{y}_{\mathrm{4}} −\mathrm{y}_{\mathrm{3}} \right)} \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{P}=\mathrm{A}+\lambda\boldsymbol{\mathrm{s}} \\ $$$$\mathrm{x}_{\mathrm{0}} =\mathrm{x}_{\mathrm{1}} +\frac{\left(\mathrm{x}_{\mathrm{3}} −\mathrm{x}_{\mathrm{1}} \right)\left(\mathrm{y}_{\mathrm{4}} −\mathrm{y}_{\mathrm{3}} \right)−\left(\mathrm{x}_{\mathrm{4}} −\mathrm{y}_{\mathrm{3}} \right)\left(\mathrm{y}_{\mathrm{3}} −\mathrm{y}_{\mathrm{1}} \right)}{\left(\mathrm{x}_{\mathrm{2}} −\mathrm{x}_{\mathrm{1}} \right)\left(\mathrm{y}_{\mathrm{4}} −\mathrm{y}_{\mathrm{3}} \right)−\left(\mathrm{x}_{\mathrm{4}} −\mathrm{x}_{\mathrm{3}} \right)\left(\mathrm{y}_{\mathrm{2}} −\mathrm{y}_{\mathrm{1}} \right)}×\left(\mathrm{x}_{\mathrm{2}} −\mathrm{x}_{\mathrm{1}} \right) \\ $$$$=\frac{\left(\mathrm{x}_{\mathrm{2}} \mathrm{y}_{\mathrm{1}} −\mathrm{x}_{\mathrm{1}} \mathrm{y}_{\mathrm{2}} \right)\left(\mathrm{x}_{\mathrm{4}} −\mathrm{x}_{\mathrm{3}} \right)−\left(\mathrm{x}_{\mathrm{4}} \mathrm{y}_{\mathrm{3}} −\mathrm{x}_{\mathrm{3}} \mathrm{y}_{\mathrm{4}} \right)\left(\mathrm{x}_{\mathrm{2}} −\mathrm{x}_{\mathrm{1}} \right)}{\left(\mathrm{x}_{\mathrm{2}} −\mathrm{x}_{\mathrm{1}} \right)\left(\mathrm{y}_{\mathrm{4}} −\mathrm{y}_{\mathrm{3}} \right)−\left(\mathrm{x}_{\mathrm{4}} −\mathrm{x}_{\mathrm{3}} \right)\left(\mathrm{y}_{\mathrm{2}} −\mathrm{y}_{\mathrm{1}} \right)} \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{y}_{\mathrm{0}} =\mathrm{y}_{\mathrm{1}} +\frac{\left(\mathrm{x}_{\mathrm{3}} −\mathrm{x}_{\mathrm{1}} \right)\left(\mathrm{y}_{\mathrm{4}} −\mathrm{y}_{\mathrm{3}} \right)−\left(\mathrm{x}_{\mathrm{4}} −\mathrm{y}_{\mathrm{3}} \right)\left(\mathrm{y}_{\mathrm{3}} −\mathrm{y}_{\mathrm{1}} \right)}{\left(\mathrm{x}_{\mathrm{2}} −\mathrm{x}_{\mathrm{1}} \right)\left(\mathrm{y}_{\mathrm{4}} −\mathrm{y}_{\mathrm{3}} \right)−\left(\mathrm{x}_{\mathrm{4}} −\mathrm{x}_{\mathrm{3}} \right)\left(\mathrm{y}_{\mathrm{2}} −\mathrm{y}_{\mathrm{1}} \right)}×\left(\mathrm{y}_{\mathrm{2}} −\mathrm{y}_{\mathrm{1}} \right) \\ $$$$=\frac{\left(\mathrm{x}_{\mathrm{2}} \mathrm{y}_{\mathrm{1}} −\mathrm{x}_{\mathrm{1}} \mathrm{y}_{\mathrm{2}} \right)\left(\mathrm{y}_{\mathrm{4}} −\mathrm{y}_{\mathrm{3}} \right)−\left(\mathrm{x}_{\mathrm{4}} \mathrm{y}_{\mathrm{3}} −\mathrm{x}_{\mathrm{3}} \mathrm{y}_{\mathrm{4}} \right)\left(\mathrm{y}_{\mathrm{2}} −\mathrm{y}_{\mathrm{1}} \right)}{\left(\mathrm{x}_{\mathrm{2}} −\mathrm{x}_{\mathrm{1}} \right)\left(\mathrm{y}_{\mathrm{4}} −\mathrm{y}_{\mathrm{3}} \right)−\left(\mathrm{x}_{\mathrm{4}} −\mathrm{x}_{\mathrm{3}} \right)\left(\mathrm{y}_{\mathrm{2}} −\mathrm{y}_{\mathrm{1}} \right)} \\ $$
Commented by ajfour last updated on 17/Aug/17
thanks for the cooperation Sir .
$${thanks}\:{for}\:{the}\:{cooperation}\:{Sir}\:. \\ $$

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