Question Number 118452 by 2004 last updated on 17/Oct/20
$$\boldsymbol{{Question}}: \\ $$$$\mathrm{2}^{\boldsymbol{{x}}} +\mathrm{2}^{\mathrm{2}\boldsymbol{{x}}+\mathrm{1}} +\mathrm{1}=\boldsymbol{{y}}^{\mathrm{2}} \:\:\:\boldsymbol{{solve}}\:\boldsymbol{{this}}\:\boldsymbol{{equation}}\:\boldsymbol{{if}} \\ $$$$\boldsymbol{{x}},\boldsymbol{{y}\epsilon}\mathbb{Z} \\ $$
Commented by prakash jain last updated on 18/Oct/20
$$\mathrm{2}^{{x}} +\mathrm{2}^{\mathrm{2}{x}+\mathrm{1}} +\mathrm{1}={y}^{\mathrm{2}} \\ $$$${x}=\mathrm{0},{y}=\pm\mathrm{2}\:\mathrm{is}\:\mathrm{obvious}\:\mathrm{solution} \\ $$$${x}>\mathrm{0}\:\mathrm{LHS}\:\mathrm{is}\:\mathrm{odd} \\ $$$${x}=\mathrm{1}\:\mathrm{has}\:\mathrm{no}\:\mathrm{solution}. \\ $$$${x}\geqslant\mathrm{2} \\ $$$${y}=\mathrm{2}{k}+\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{2}^{{x}} +\mathrm{2}^{\mathrm{2}{x}+\mathrm{1}} =\mathrm{4}{k}^{\mathrm{2}} +\mathrm{4}{k} \\ $$$${k}\left({k}+\mathrm{1}\right)=\mathrm{2}^{\mathrm{2}{x}β\mathrm{1}} +\mathrm{2}^{{x}β\mathrm{2}} =\mathrm{2}^{{x}β\mathrm{2}} \left(\mathrm{2}^{{x}+\mathrm{1}} +\mathrm{1}\right) \\ $$$${will}\:{continue} \\ $$
Commented by 2004 last updated on 18/Oct/20
$$\mathrm{Can}\:\mathrm{you}\:\mathrm{continue}\:\mathrm{sir}\left(\mathrm{I}\:\mathrm{could}\:\mathrm{come}\:\mathrm{to}\:\mathrm{this}\:\mathrm{step}\right) \\ $$
Commented by 2004 last updated on 18/Oct/20
$$\boldsymbol{{Thanks}} \\ $$
Answered by floor(10Β²Eta[1]) last updated on 18/Oct/20
$$\mathrm{if}\:\mathrm{x}<\mathrm{0}\Rightarrow\mathrm{x}\leqslantβ\mathrm{1} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{2}^{\mathrm{x}} \leqslant\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}},\:\mathrm{2}^{\mathrm{2x}+\mathrm{1}} \leqslant\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{1}<\mathrm{1}+\mathrm{2}^{\mathrm{x}} +\mathrm{2}^{\mathrm{2x}+\mathrm{1}} \leqslant\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}=\mathrm{2} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{1}<\mathrm{y}^{\mathrm{2}} \leqslant\mathrm{2}\Rightarrow\mathrm{no}\:\mathrm{solution}\:\mathrm{for}\:\mathrm{x}<\mathrm{0}. \\ $$$$\mathrm{if}\:\mathrm{x}=\mathrm{0}: \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{1}+\mathrm{2}^{\mathrm{x}} +\mathrm{2}^{\mathrm{2x}+\mathrm{1}} =\mathrm{4}=\mathrm{y}^{\mathrm{2}} \Rightarrow\mathrm{y}=\pm\mathrm{2} \\ $$$$\left(\mathrm{x},\:\mathrm{y}\right)=\left\{\left(\mathrm{0},\:β\mathrm{2}\right),\:\left(\mathrm{0},\:\mathrm{2}\right)\right\} \\ $$$$\mathrm{if}\:\mathrm{x}=\mathrm{1}: \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{1}+\mathrm{2}+\mathrm{2}^{\mathrm{3}} =\mathrm{11}=\mathrm{y}^{\mathrm{2}} \Rightarrow\mathrm{no}\:\mathrm{sol}. \\ $$$$\mathrm{x}=\mathrm{2}: \\ $$$$\mathrm{1}+\mathrm{2}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}^{\mathrm{5}} =\mathrm{37}=\mathrm{y}^{\mathrm{2}} \Rightarrow\mathrm{no}\:\mathrm{sol}. \\ $$$$\mathrm{Suppose}\:\mathrm{x}\geqslant\mathrm{3}: \\ $$$$\mathrm{1}+\mathrm{2}^{\mathrm{x}} +\mathrm{2}^{\mathrm{2x}+\mathrm{1}} =\mathrm{y}^{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{2}^{\mathrm{x}} +\mathrm{2}^{\mathrm{2x}+\mathrm{1}} =\mathrm{y}^{\mathrm{2}} β\mathrm{1}=\left(\mathrm{y}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{y}+\mathrm{1}\right) \\ $$$$\mathrm{2}^{\mathrm{x}} \left(\mathrm{1}+\mathrm{2}^{\mathrm{x}+\mathrm{1}} \right)=\left(\mathrm{y}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{y}β\mathrm{1}\right) \\ $$$$\mathrm{LHS}\:\mathrm{is}\:\mathrm{even}\Rightarrow\mathrm{RHS}\:\mathrm{is}\:\mathrm{also}\:\mathrm{even}\:\mathrm{but} \\ $$$$\mathrm{y}+\mathrm{1}\:\mathrm{and}\:\mathrm{y}β\mathrm{1}\:\mathrm{have}\:\mathrm{the}\:\mathrm{same}\:\mathrm{parity} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{y}+\mathrm{1}\:\mathrm{and}\:\mathrm{y}β\mathrm{1}\:\mathrm{are}\:\mathrm{even} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{gcd}\left(\mathrm{y}+\mathrm{1},\mathrm{y}β\mathrm{1}\right)\mid\mathrm{2} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{gcd}\left(\mathrm{y}+\mathrm{1},\mathrm{y}β\mathrm{1}\right)=\mathrm{2} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{y}+\mathrm{1}\:\mathrm{or}\:\mathrm{y}β\mathrm{1}\:\mathrm{is}\:\mathrm{divisible}\:\mathrm{by}\:\mathrm{2}\:\mathrm{but}\:\mathrm{not}\:\mathrm{a}\: \\ $$$$\mathrm{larger}\:\mathrm{power}\:\mathrm{of}\:\mathrm{2}\:\mathrm{like}\:\mathrm{4} \\ $$$$\left(\mathrm{y}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{y}β\mathrm{1}\right)=\mathrm{2}.\mathrm{2}^{\mathrm{x}β\mathrm{1}} \left(\mathrm{1}+\mathrm{2}^{\mathrm{x}+\mathrm{1}} \right) \\ $$$$\mathrm{so}\:\mathrm{y}+\mathrm{1}\:\mathrm{or}\:\mathrm{y}β\mathrm{1}\:\mathrm{is}\:\mathrm{a}\:\mathrm{multiple}\:\mathrm{of}\:\mathrm{2}^{\mathrm{x}β\mathrm{1}} \\ $$$$\mathrm{Case}\:\mathrm{1}:\:\mathrm{y}+\mathrm{1}=\mathrm{2}^{\mathrm{x}β\mathrm{1}} .\mathrm{m}\:\left(\mathrm{m}\geqslant\mathrm{1},\:\mathrm{odd}\right) \\ $$$$\left(\mathrm{If}\:\mathrm{m}\:\mathrm{was}\:\mathrm{even}\:\mathrm{then}\:\mathrm{that}\:\mathrm{would}\:\mathrm{imply}\right. \\ $$$$\mathrm{that}\:\mathrm{y}β\mathrm{1}\:\mathrm{was}\:\mathrm{odd}\:\mathrm{because}\:\mathrm{y}+\mathrm{1}\:\mathrm{would}\:\mathrm{take} \\ $$$$\mathrm{all}\:\mathrm{of}\:\mathrm{the}\:\mathrm{even}\:\mathrm{part}\:\mathrm{of}\:\mathrm{the}\:\mathrm{RHS},\:\mathrm{but}\: \\ $$$$\mathrm{we}\:\mathrm{know}\:\mathrm{that}\:\mathrm{they}\:\mathrm{are}\:\mathrm{both}\:\mathrm{even}.\: \\ $$$$\mathrm{And}\:\mathrm{m}\geqslant\mathrm{1}\:\mathrm{because}\:\mathrm{if}\:\left(\mathrm{x},\mathrm{y}\right)\:\mathrm{is}\:\mathrm{a}\:\mathrm{sol}.\:\mathrm{so}\:\mathrm{is} \\ $$$$\left.\left(\mathrm{x},\:β\mathrm{y}\right),\:\mathrm{so}\:\mathrm{we}\:\mathrm{only}\:\mathrm{need}\:\mathrm{to}\:\mathrm{look}\:\mathrm{for}\:\mathrm{y}\geqslant\mathrm{0}\right) \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{y}=\mathrm{2}^{\mathrm{x}β\mathrm{1}} .\mathrm{m}β\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{1}+\mathrm{2}^{\mathrm{x}} +\mathrm{2}^{\mathrm{2x}+\mathrm{1}} =\left(\mathrm{2}^{\mathrm{x}β\mathrm{1}} .\mathrm{m}β\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} =\mathrm{2}^{\mathrm{2x}β\mathrm{2}} .\mathrm{m}^{\mathrm{2}} β\mathrm{2}^{\mathrm{x}} .\mathrm{m}+\mathrm{1} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{1}+\mathrm{2}^{\mathrm{x}+\mathrm{1}} =\mathrm{2}^{\mathrm{x}β\mathrm{2}} .\mathrm{m}^{\mathrm{2}} β\mathrm{m} \\ $$$$\mathrm{m}+\mathrm{1}=\mathrm{2}^{\mathrm{x}β\mathrm{2}} .\mathrm{m}^{\mathrm{2}} β\mathrm{2}^{\mathrm{x}+\mathrm{1}} =\mathrm{2}^{\mathrm{x}β\mathrm{2}} \left(\mathrm{m}^{\mathrm{2}} β\mathrm{8}\right) \\ $$$$\mathrm{m}+\mathrm{1}=\mathrm{2}^{\mathrm{x}β\mathrm{2}} \left(\mathrm{m}^{\mathrm{2}} β\mathrm{8}\right)\geqslant\mathrm{2}\left(\mathrm{m}^{\mathrm{2}} β\mathrm{8}\right) \\ $$$$\mathrm{2m}^{\mathrm{2}} β\mathrm{m}β\mathrm{17}\leqslant\mathrm{0} \\ $$$$\frac{\mathrm{1}β\sqrt{\mathrm{137}}}{\mathrm{2}}\leqslant\mathrm{m}\leqslant\frac{\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{137}}}{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{but}\:\mathrm{since}\:\mathrm{m}\geqslant\mathrm{1}: \\ $$$$\mathrm{1}\leqslant\mathrm{m}\leqslant\frac{\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{137}}}{\mathrm{4}}<\mathrm{4}\Rightarrow\mathrm{m}=\mathrm{1}\:\mathrm{or}\:\mathrm{m}=\mathrm{3} \\ $$$$\mathrm{m}=\mathrm{1}\Rightarrow\mathrm{2}=\mathrm{2}^{\mathrm{x}β\mathrm{2}} \left(β\mathrm{7}\right)\:\left(\mathrm{no}\:\mathrm{sol}.\right) \\ $$$$\mathrm{m}=\mathrm{3}\Rightarrow\mathrm{4}=\mathrm{2}^{\mathrm{x}β\mathrm{2}} \Rightarrow\mathrm{x}=\mathrm{4} \\ $$$$\mathrm{1}+\mathrm{2}^{\mathrm{4}} +\mathrm{2}^{\mathrm{9}} =\mathrm{y}^{\mathrm{2}} \Rightarrow\mathrm{y}=\pm\mathrm{23} \\ $$$$\mathrm{Case}\:\mathrm{2}:\:\mathrm{y}β\mathrm{1}=\mathrm{2}^{\mathrm{x}β\mathrm{1}} .\mathrm{m}\:\left(\mathrm{m}\geqslant\mathrm{1},\:\mathrm{odd}\right) \\ $$$$\mathrm{y}=\mathrm{2}^{\mathrm{x}β\mathrm{1}} .\mathrm{m}+\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{1}+\mathrm{2}^{\mathrm{x}} +\mathrm{2}^{\mathrm{2x}+\mathrm{1}} =\left(\mathrm{2}^{\mathrm{x}β\mathrm{1}} .\mathrm{m}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} =\mathrm{2}^{\mathrm{2x}β\mathrm{2}} .\mathrm{m}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}^{\mathrm{x}} .\mathrm{m}+\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{1}+\mathrm{2}^{\mathrm{x}+\mathrm{1}} =\mathrm{2}^{\mathrm{x}β\mathrm{2}} .\mathrm{m}^{\mathrm{2}} +\mathrm{m} \\ $$$$\mathrm{1}β\mathrm{m}=\mathrm{2}^{\mathrm{x}β\mathrm{2}} .\mathrm{m}^{\mathrm{2}} β\mathrm{2}^{\mathrm{x}+\mathrm{1}} =\mathrm{2}^{\mathrm{x}β\mathrm{2}} \left(\mathrm{m}^{\mathrm{2}} β\mathrm{8}\right) \\ $$$$\mathrm{0}\geqslant\mathrm{1}β\mathrm{m}=\mathrm{2}^{\mathrm{x}β\mathrm{1}} \left(\mathrm{m}^{\mathrm{2}} β\mathrm{8}\right) \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{m}^{\mathrm{2}} β\mathrm{8}\leqslant\mathrm{0}\Rightarrow\mathrm{m}=\mathrm{1}\:\left(\mathrm{doesn}'\mathrm{t}\:\mathrm{work}\right) \\ $$$$\mathrm{all}\:\mathrm{the}\:\mathrm{solutions}\:\mathrm{are}: \\ $$$$\left(\mathrm{x},\:\mathrm{y}\right)=\left(\mathrm{0},\:β\mathrm{2}\right),\:\left(\mathrm{0},\:\mathrm{2}\right),\:\left(\mathrm{4},\:β\mathrm{23}\right),\:\left(\mathrm{4},\:\mathrm{23}\right) \\ $$
Commented by 1549442205PVT last updated on 18/Oct/20
$$\mathrm{If}\:\mathrm{so}\:\mathrm{such}\:\mathrm{then}\:\mathrm{1}+\mathrm{2}^{\mathrm{x}} =\mathrm{2}^{\mathrm{x}β\mathrm{3}} .\mathrm{m}^{\mathrm{2}} β\mathrm{m} \\ $$$$\mathrm{your}\:\mathrm{argument}\:\mathrm{later}\:\mathrm{still}\:\mathrm{true}.\mathrm{You} \\ $$$$\mathrm{can}\:\mathrm{go}\:\mathrm{by}\:\mathrm{path}\:\mathrm{base}\:\mathrm{on}\:\mathrm{system} \\ $$$$\begin{cases}{\mathrm{2}^{\mathrm{x}β\mathrm{1}} .\mathrm{m}=\mathrm{y}+\mathrm{1}}\\{\frac{\mathrm{2}.\left(\mathrm{2}^{\mathrm{x}+\mathrm{1}} +\mathrm{1}\right)}{\mathrm{m}}=\mathrm{y}β\mathrm{1}}\end{cases} \\ $$$$\mathrm{Thank}\:\mathrm{you} \\ $$
Answered by TANMAY PANACEA last updated on 18/Oct/20
$$\boldsymbol{{by}}\:\boldsymbol{{inspection}} \\ $$$$\boldsymbol{{x}}=\mathrm{0}\:\:\:\boldsymbol{{y}}=\mathrm{2} \\ $$