Question Number 20561 by mondodotto@gmail.com last updated on 28/Aug/17
Answered by mind is power last updated on 07/Nov/19
$$\mathrm{ln}\left(\frac{\mathrm{x}+\mathrm{1}}{\mathrm{x}−\mathrm{1}}\right)=\mathrm{ln}\left(\frac{\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}}{\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}\:}{\mathrm{x}}}\right) \\ $$$$\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+\mathrm{t}\right)=\underset{\mathrm{n}\geqslant\mathrm{1}} {\sum}\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} .\frac{\mathrm{t}^{\mathrm{n}} }{\mathrm{n}}\:\:\mathrm{if}\:\mid\mathrm{t}\mid<\mathrm{1} \\ $$$$−\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}−\mathrm{t}\right)=\underset{\mathrm{n}\geqslant\mathrm{1}} {\sum}\frac{\mathrm{t}^{\mathrm{n}} }{\mathrm{n}} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{ln}\left(\frac{\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}}{\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}}\right)=\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}\right)−\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}\right)=\underset{\mathrm{n}\geqslant\mathrm{1}} {\sum}\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{nx}^{\mathrm{n}} }+\underset{\mathrm{n}\geqslant\mathrm{1}} {\sum}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{nx}^{\mathrm{n}} } \\ $$$$=\underset{\mathrm{n}\geqslant\mathrm{1}} {\sum}\left(\mathrm{1}+\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} \right).\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{nx}^{\mathrm{n}} }=\mathrm{2}\underset{\mathrm{k}=\mathrm{1}} {\overset{+\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{2k}−\mathrm{1}\right).\mathrm{x}^{\mathrm{2k}−\mathrm{1}} } \\ $$$$ \\ $$