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Question-22199

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Question Number 22199 by chernoaguero@gmail.com last updated on 13/Oct/17
Commented by chernoaguero@gmail.com last updated on 13/Oct/17
Thank you guys
$$\mathrm{Thank}\:\mathrm{you}\:\mathrm{guys} \\ $$
Commented by Rasheed.Sindhi last updated on 13/Oct/17
x=1
$$\mathrm{x}=\mathrm{1} \\ $$
Commented by prakash jain last updated on 13/Oct/17
(d/dx)(x+2^x +6)=1+(ln 2)2^x >0 x+2^x +6 is increasing function so only 1 solution.
$$\frac{{d}}{{dx}}\left({x}+\mathrm{2}^{{x}} +\mathrm{6}\right)=\mathrm{1}+\left(\mathrm{ln}\:\mathrm{2}\right)\mathrm{2}^{{x}} >\mathrm{0} \\ $$$${x}+\mathrm{2}^{{x}} +\mathrm{6}\:\mathrm{is}\:\mathrm{increasing}\:\mathrm{function} \\ $$$$\mathrm{so}\:\mathrm{only}\:\mathrm{1}\:\mathrm{solution}. \\ $$
Answered by Bruce Lee last updated on 13/Oct/17
(√(x+2^x +6))=3 2^x =3−x .2^x ≥1⇔3−x≥1 ∣→a^x ≥1 ∀x∈R, a≥1p or x≤2 +case1. x=1 ⇒(√(1+2^1 +6))=3 ⇒x=1 is a root +case2. 1<x≤2 ⇒2^x >2 −1>−x≥−2 2>3−x≥1 2>2^x ≥1 not true +case3. x<1 ⇒ 2^x <2 −x>−1 3−x>2 2^x >2 not true So x=1 is only a root.
$$\sqrt{\boldsymbol{{x}}+\mathrm{2}^{\boldsymbol{{x}}} +\mathrm{6}}=\mathrm{3} \\ $$$$\mathrm{2}^{\boldsymbol{{x}}} =\mathrm{3}−\boldsymbol{{x}}\: \\ $$$$.\mathrm{2}^{\boldsymbol{{x}}} \geqslant\mathrm{1}\Leftrightarrow\mathrm{3}−\boldsymbol{{x}}\geqslant\mathrm{1}\:\:\:\:\:\mid\rightarrow\boldsymbol{{a}}^{\boldsymbol{{x}}} \geqslant\mathrm{1}\:\forall\boldsymbol{{x}}\in\boldsymbol{{R}},\:\boldsymbol{{a}}\geqslant\mathrm{1}{p} \\ $$$${or}\:\boldsymbol{{x}}\leqslant\mathrm{2} \\ $$$$+\boldsymbol{{case}}\mathrm{1}.\:\boldsymbol{{x}}=\mathrm{1} \\ $$$$\Rightarrow\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{2}^{\mathrm{1}} +\mathrm{6}}=\mathrm{3}\: \\ $$$$\Rightarrow\boldsymbol{{x}}=\mathrm{1}\:\boldsymbol{{is}}\:\boldsymbol{{a}}\:\boldsymbol{{root}} \\ $$$$+\boldsymbol{{case}}\mathrm{2}.\:\mathrm{1}<\boldsymbol{{x}}\leqslant\mathrm{2}\:\:\:\:\:\Rightarrow\mathrm{2}^{\boldsymbol{{x}}} >\mathrm{2} \\ $$$$−\mathrm{1}>−\boldsymbol{{x}}\geqslant−\mathrm{2} \\ $$$$\mathrm{2}>\mathrm{3}−\boldsymbol{{x}}\geqslant\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{2}>\mathrm{2}^{\boldsymbol{{x}}} \geqslant\mathrm{1}\:\:\:\boldsymbol{{not}}\:\boldsymbol{{true}} \\ $$$$+\boldsymbol{{case}}\mathrm{3}.\:\boldsymbol{{x}}<\mathrm{1}\:\:\:\Rightarrow\:\mathrm{2}^{\boldsymbol{{x}}} <\mathrm{2} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:−\boldsymbol{{x}}>−\mathrm{1} \\ $$$$\:\:\:\mathrm{3}−\boldsymbol{{x}}>\mathrm{2} \\ $$$$\:\:\:\:\mathrm{2}^{\boldsymbol{{x}}} >\mathrm{2}\:\:\boldsymbol{{not}}\:\boldsymbol{{true}} \\ $$$$\boldsymbol{{So}}\:\boldsymbol{{x}}=\mathrm{1}\:\boldsymbol{{is}}\:\boldsymbol{{only}}\:\boldsymbol{{a}}\:\boldsymbol{{root}}. \\ $$
Commented by chernoaguero@gmail.com last updated on 13/Oct/17
Thank you sir
$$\mathrm{Thank}\:\mathrm{you}\:\mathrm{sir} \\ $$
Answered by mrW1 last updated on 14/Oct/17
x+2^x +6=3^2 =9 2^x =9−6−x=3−x 2^(x−3) =−((x−3)/8) e^((x−3)ln 2) =−((x−3)/8) −(x−3)e^(−(x−3)ln 2) =8 −(x−3)ln 2e^(−(x−3)ln 2) =8ln 2 ⇒−(x−3)ln 2=W(8ln 2) ⇒x=3−((W(8ln 2))/(ln 2))=3−2=1 this method works for any values. (√(x+2^x +a))=b x+2^x =b^2 −a=c 2^x =−(x−c) 2^(x−c) =−((x−c)/2^c ) e^((x−c)ln 2) =−((x−c)/2^c ) −(x−c)ln 2 e^(−(x−c)ln 2) =2^c ln 2 −(x−c)ln 2=W(2^c ln 2) ⇒x=c−((W(2^c ln 2))/(ln 2))
$$\mathrm{x}+\mathrm{2}^{\mathrm{x}} +\mathrm{6}=\mathrm{3}^{\mathrm{2}} =\mathrm{9} \\ $$$$\mathrm{2}^{\mathrm{x}} =\mathrm{9}−\mathrm{6}−\mathrm{x}=\mathrm{3}−\mathrm{x} \\ $$$$\mathrm{2}^{\mathrm{x}−\mathrm{3}} =−\frac{\mathrm{x}−\mathrm{3}}{\mathrm{8}} \\ $$$$\mathrm{e}^{\left(\mathrm{x}−\mathrm{3}\right)\mathrm{ln}\:\mathrm{2}} =−\frac{\mathrm{x}−\mathrm{3}}{\mathrm{8}} \\ $$$$−\left(\mathrm{x}−\mathrm{3}\right)\mathrm{e}^{−\left(\mathrm{x}−\mathrm{3}\right)\mathrm{ln}\:\mathrm{2}} =\mathrm{8} \\ $$$$−\left(\mathrm{x}−\mathrm{3}\right)\mathrm{ln}\:\mathrm{2e}^{−\left(\mathrm{x}−\mathrm{3}\right)\mathrm{ln}\:\mathrm{2}} =\mathrm{8ln}\:\mathrm{2} \\ $$$$\Rightarrow−\left(\mathrm{x}−\mathrm{3}\right)\mathrm{ln}\:\mathrm{2}=\mathrm{W}\left(\mathrm{8ln}\:\mathrm{2}\right) \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{x}=\mathrm{3}−\frac{\mathrm{W}\left(\mathrm{8ln}\:\mathrm{2}\right)}{\mathrm{ln}\:\mathrm{2}}=\mathrm{3}−\mathrm{2}=\mathrm{1} \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{this}\:\mathrm{method}\:\mathrm{works}\:\mathrm{for}\:\mathrm{any}\:\mathrm{values}. \\ $$$$\sqrt{\mathrm{x}+\mathrm{2}^{\mathrm{x}} +\mathrm{a}}=\mathrm{b} \\ $$$$\mathrm{x}+\mathrm{2}^{\mathrm{x}} =\mathrm{b}^{\mathrm{2}} −\mathrm{a}=\mathrm{c} \\ $$$$\mathrm{2}^{\mathrm{x}} =−\left(\mathrm{x}−\mathrm{c}\right) \\ $$$$\mathrm{2}^{\mathrm{x}−\mathrm{c}} =−\frac{\mathrm{x}−\mathrm{c}}{\mathrm{2}^{\mathrm{c}} } \\ $$$$\mathrm{e}^{\left(\mathrm{x}−\mathrm{c}\right)\mathrm{ln}\:\mathrm{2}} =−\frac{\mathrm{x}−\mathrm{c}}{\mathrm{2}^{\mathrm{c}} } \\ $$$$−\left(\mathrm{x}−\mathrm{c}\right)\mathrm{ln}\:\mathrm{2}\:\mathrm{e}^{−\left(\mathrm{x}−\mathrm{c}\right)\mathrm{ln}\:\mathrm{2}} =\mathrm{2}^{\mathrm{c}} \mathrm{ln}\:\mathrm{2} \\ $$$$−\left(\mathrm{x}−\mathrm{c}\right)\mathrm{ln}\:\mathrm{2}=\mathrm{W}\left(\mathrm{2}^{\mathrm{c}} \mathrm{ln}\:\mathrm{2}\right) \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{x}=\mathrm{c}−\frac{\mathrm{W}\left(\mathrm{2}^{\mathrm{c}} \mathrm{ln}\:\mathrm{2}\right)}{\mathrm{ln}\:\mathrm{2}} \\ $$

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