Question Number 22940 by selestian last updated on 24/Oct/17
Commented by ajfour last updated on 24/Oct/17
$${T}_{{r}} =\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \left(\frac{\mathrm{2}^{{r}−\mathrm{1}} }{\mathrm{1}+\mathrm{2}^{\mathrm{2}{r}−\mathrm{1}} }\right) \\ $$$$\Rightarrow\:\:\mathrm{tan}\:{T}_{{r}} =\frac{\mathrm{2}^{{r}} −\mathrm{2}^{{r}−\mathrm{1}} }{\mathrm{1}+\mathrm{2}^{{r}} .\mathrm{2}^{{r}−\mathrm{1}} } \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\mathrm{tan}\:\left(\theta_{{r}} −\theta_{{r}−\mathrm{1}} \right) \\ $$$$\:\:\:\:{such}\:{that}\:\:\:\mathrm{tan}\:\theta_{{r}} =\mathrm{2}^{{r}} \\ $$$${So}\:\:\:\:\:{T}_{{r}} =\theta_{{r}} −\theta_{{r}−\mathrm{1}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \left(\mathrm{2}^{{r}} \right)−\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \left(\mathrm{2}^{{r}−\mathrm{1}} \right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\underset{{r}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}{T}_{{r}} \:=\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \left(\mathrm{2}^{{n}} \right)−\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \mathrm{1} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \left(\mathrm{2}^{{n}} \right)−\frac{\pi}{\mathrm{4}}\:. \\ $$