Question Number 24549 by math solver last updated on 20/Nov/17
Commented by math solver last updated on 20/Nov/17
$$\mathrm{the}\:\mathrm{value}\:\mathrm{of}\:\mathrm{ratio}\:\mathrm{is}\:?? \\ $$
Commented by prakash jain last updated on 20/Nov/17
$$\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{\mathrm{2}} }+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}^{\mathrm{2}} }+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}^{\mathrm{2}} }+…=\mathrm{S} \\ $$$$\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}^{\mathrm{2}} }+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{5}^{\mathrm{2}} }+..\right)+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{\mathrm{2}} }\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{\mathrm{2}} }+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}^{\mathrm{2}} }+…\right)=\mathrm{S} \\ $$$$\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}^{\mathrm{2}} }+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{5}^{\mathrm{2}} }+..\right)+\frac{\mathrm{S}}{\mathrm{4}}=\mathrm{S} \\ $$$$\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}^{\mathrm{2}} }+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{5}^{\mathrm{2}} }+..\right)=\frac{\mathrm{3S}}{\mathrm{4}} \\ $$$$\mathrm{Given}\:\mathrm{ratio} \\ $$$$\frac{\mathrm{S}}{\frac{\mathrm{3S}}{\mathrm{4}}−\frac{\mathrm{S}}{\mathrm{4}}}=\mathrm{2} \\ $$
Commented by prakash jain last updated on 20/Nov/17
$$\mathrm{Terms}\:\mathrm{can}\:\mathrm{be}\:\mathrm{rearranged}\:\mathrm{for} \\ $$$$\mathrm{absolutely}\:\mathrm{convergent}\:\mathrm{series}. \\ $$
Commented by math solver last updated on 20/Nov/17
$$\mathrm{god}\:\mathrm{bless}\:\mathrm{you}\:\mathrm{sir}\:. \\ $$
Commented by maxmathsup by imad last updated on 24/May/19
$${let}\:{q}\:=\frac{\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{\mathrm{2}} }\:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}^{\mathrm{2}} }\:+…}{\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{\mathrm{2}} }\:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}^{\mathrm{2}} }\:+..}\:\Rightarrow{q}\:=\frac{\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{1}}{{n}^{\mathrm{2}} }}{\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}−\mathrm{1}} }{{n}^{\mathrm{2}} }} \\ $$$${we}\:{have}\:\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{1}}{{n}^{\mathrm{2}} }\:=\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{6}} \\ $$$$\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}−\mathrm{1}} }{{n}^{\mathrm{2}} }\:=−\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{2}{n}\right)^{\mathrm{2}} }\:+\sum_{{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\:=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\:\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{6}}\:+\sum_{{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{1}}{{n}^{\mathrm{2}} }\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\:\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{1}}{{n}^{\mathrm{2}} }\:+\sum_{{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\:\Rightarrow\sum_{{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\:=\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{4}}.\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{6}}\:=\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{8}}\:\Rightarrow \\ $$$$\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}−\mathrm{1}} }{{n}^{\mathrm{2}} }\:=\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{8}}\:−\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{24}}\:=\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{12}}\:\Rightarrow\:{q}\:=\frac{\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{6}}}{\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{12}}}\:\Rightarrow{q}\:=\mathrm{2}\:. \\ $$