Question Number 27643 by ajfour last updated on 11/Jan/18
Commented by Rasheed.Sindhi last updated on 12/Jan/18
$$\mathrm{Sir}\:\mathrm{Ajfour},\:\mathrm{please}\:\mathrm{help}\:\mathrm{me}\:\mathrm{in} \\ $$$$\mathrm{Q}#\mathrm{27627}\:\&\:\mathrm{Q}#\mathrm{27422} \\ $$
Answered by mrW2 last updated on 12/Jan/18
$$\frac{{x}^{\mathrm{2}} }{{a}^{\mathrm{2}} }+\frac{{y}^{\mathrm{2}} }{{b}^{\mathrm{2}} }=\mathrm{1} \\ $$$${let}'{s}\:{say}\:{b}>{a} \\ $$$${r}^{\mathrm{2}} \left(\frac{\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \:\theta}{{a}^{\mathrm{2}} }+\frac{\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \:\theta}{{b}^{\mathrm{2}} }\right)=\mathrm{1} \\ $$$${r}^{\mathrm{2}} =\frac{{a}^{\mathrm{2}} {b}^{\mathrm{2}} }{\left({a}\:\mathrm{sin}\:\theta\right)^{\mathrm{2}} +\left({b}\:\mathrm{cos}\:\theta\right)^{\mathrm{2}} }=\frac{{a}^{\mathrm{2}} {b}^{\mathrm{2}} }{{b}^{\mathrm{2}} −\left({b}^{\mathrm{2}} −{a}^{\mathrm{2}} \right)\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \:\theta}=\frac{{b}^{\mathrm{2}} }{{b}^{\mathrm{2}} −{a}^{\mathrm{2}} }×\frac{{a}^{\mathrm{2}} }{\frac{{b}^{\mathrm{2}} }{{b}^{\mathrm{2}} −{a}^{\mathrm{2}} }−\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \:\theta}=\frac{{c}^{\mathrm{2}} {a}^{\mathrm{2}} }{{c}^{\mathrm{2}} −\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \:\theta} \\ $$$${with}\:{c}=\frac{{b}}{\:\sqrt{{b}^{\mathrm{2}} −{a}^{\mathrm{2}} }}>\mathrm{1} \\ $$$$\frac{{A}}{\mathrm{8}}=\int{dA}=\int_{\mathrm{0}} ^{\frac{\pi}{\mathrm{4}}} \frac{{r}^{\mathrm{2}} {d}\theta}{\mathrm{2}}=\frac{{c}^{\mathrm{2}} {a}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}\int_{\mathrm{0}} ^{\frac{\pi}{\mathrm{4}}} \frac{{d}\theta}{{c}^{\mathrm{2}} −\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \:\theta} \\ $$$$=\frac{{ca}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}\sqrt{{c}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}}\left[\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \left(\frac{\sqrt{{c}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}}{{c}}\mathrm{tan}\:\theta\right)\right]_{\mathrm{0}} ^{\frac{\pi}{\mathrm{4}}} \\ $$$$=\frac{{ca}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}\sqrt{{c}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}}\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \frac{\sqrt{{c}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}}{{c}} \\ $$$$ \\ $$$$\Rightarrow{A}=\frac{\mathrm{4}{ca}^{\mathrm{2}} }{\:\sqrt{{c}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}}\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \frac{\sqrt{{c}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}}{{c}} \\ $$$$\sqrt{{c}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}=\sqrt{\frac{{b}^{\mathrm{2}} }{{b}^{\mathrm{2}} −{a}^{\mathrm{2}} }−\mathrm{1}}=\frac{{a}}{\:\sqrt{{b}^{\mathrm{2}} −{a}^{\mathrm{2}} }} \\ $$$$\frac{\sqrt{{c}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}}{{c}}=\frac{{a}}{{b}} \\ $$$$\Rightarrow{A}=\mathrm{4}{ab}\:\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \frac{{a}}{{b}} \\ $$
Commented by ajfour last updated on 12/Jan/18
$${thank}\:{you}\:{sir},\:{correct}\:{answer}, \\ $$$$\:{appreciate}\:{your}\:{method}\:{sir}! \\ $$
Commented by mrW2 last updated on 12/Jan/18
Commented by ajfour last updated on 12/Jan/18
$${understood}\:{sir}\:. \\ $$
Answered by ajfour last updated on 12/Jan/18
$$\frac{{c}^{\mathrm{2}} }{{a}^{\mathrm{2}} }+\frac{{c}^{\mathrm{2}} }{{b}^{\mathrm{2}} }=\mathrm{1}\:\:\:\:\Rightarrow\:{c}=\frac{{ab}}{\:\sqrt{{a}^{\mathrm{2}} +{b}^{\mathrm{2}} }} \\ $$$$\frac{{x}^{\mathrm{2}} }{{a}^{\mathrm{2}} }+\frac{{y}^{\mathrm{2}} }{{b}^{\mathrm{2}} }=\mathrm{1}\:\:\Rightarrow\:{y}=\frac{{b}}{{a}}\sqrt{{a}^{\mathrm{2}} −{x}^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\frac{{A}}{\mathrm{8}}=\int_{\mathrm{0}} ^{\:\:{c}} \left[\frac{{b}}{{a}}\sqrt{{a}^{\mathrm{2}} −{x}^{\mathrm{2}} }\:−{x}\right]{dx} \\ $$$$=\left\{\frac{{b}}{{a}}\left[\frac{{x}}{\mathrm{2}}\sqrt{{a}^{\mathrm{2}} −{x}^{\mathrm{2}} }+\frac{{a}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}\mathrm{sin}^{−\mathrm{1}} \frac{{x}}{{a}}\right]−\frac{{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}\right\}\mid_{\mathrm{0}} ^{{c}} \\ $$$$=\frac{{b}}{{a}}×\frac{{c}}{\mathrm{2}}\sqrt{{a}^{\mathrm{2}} −{c}^{\mathrm{2}} }+\frac{{ab}}{\mathrm{2}}\mathrm{sin}^{−\mathrm{1}} \frac{{c}}{{a}}−\frac{{c}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}} \\ $$$$=\frac{{b}}{{a}}×\frac{{ab}}{\mathrm{2}\sqrt{{a}^{\mathrm{2}} +{b}^{\mathrm{2}} }}×\frac{{a}^{\mathrm{2}} }{\:\sqrt{{a}^{\mathrm{2}} +{b}^{\mathrm{2}} }}+ \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\frac{{ab}}{\mathrm{2}}\mathrm{sin}^{−\mathrm{1}} \frac{{b}}{\:\sqrt{{a}^{\mathrm{2}} +{b}^{\mathrm{2}} }}−\frac{{a}^{\mathrm{2}} {b}^{\mathrm{2}} }{{a}^{\mathrm{2}} +{b}^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\frac{{A}}{\mathrm{8}}=\frac{{ab}}{\mathrm{2}}\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \frac{{b}}{{a}} \\ $$$$\Rightarrow\:\:{A}=\mathrm{4}{ab}\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \frac{{b}}{{a}}\:. \\ $$