Question Number 32240 by mondodotto@gmail.com last updated on 22/Mar/18
Answered by MJS last updated on 22/Mar/18
$$\frac{\mathrm{cos}\:\alpha}{\mathrm{sin}\:\beta×\mathrm{sin}\:\gamma}+\frac{\mathrm{cos}\:\beta}{\mathrm{sin}\:\alpha×\mathrm{sin}\:\gamma}+\frac{\mathrm{cos}\:\gamma}{\mathrm{sin}\:\alpha×\mathrm{sin}\:\beta}= \\ $$$$=\frac{\mathrm{cos}\:\alpha×\mathrm{sin}\:\alpha+\mathrm{cos}\:\beta×\mathrm{sin}\:\beta+\mathrm{cos}\:\gamma×\mathrm{sin}\:\gamma}{\mathrm{sin}\:\alpha×\mathrm{sin}\:\beta×\mathrm{sin}\:\gamma} \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{I}. \\ $$$$\mathrm{cos}\:\alpha×\mathrm{sin}\:\alpha+\mathrm{cos}\:\beta×\mathrm{sin}\:\beta+\mathrm{cos}\:\gamma×\mathrm{sin}\:\gamma= \\ $$$$\:\:\:\:\:\left[\mathrm{using}\:\mathrm{cos}\:\theta×\mathrm{sin}\:\theta=\frac{\mathrm{sin}\:\mathrm{2}\theta}{\mathrm{2}}\right] \\ $$$$=\frac{\mathrm{sin}\:\mathrm{2}\alpha+\mathrm{sin}\:\mathrm{2}\beta+\mathrm{sin}\:\mathrm{2}\gamma}{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{with}\:\gamma=\pi−\left(\alpha+\beta\right)\:\mathrm{and} \\ $$$$\mathrm{sin}\:\mathrm{2}\left(\pi−\left(\alpha+\beta\right)\right)=\mathrm{sin}\left(\mathrm{2}\pi−\left(\mathrm{2}\alpha+\mathrm{2}\beta\right)\right)= \\ $$$$=−\mathrm{sin}\left(\mathrm{2}\alpha+\mathrm{2}\beta\right)\:\mathrm{this}\:\mathrm{becomes} \\ $$$$\frac{\mathrm{sin}\:\mathrm{2}\alpha+\mathrm{sin}\:\mathrm{2}\beta−\mathrm{sin}\left(\mathrm{2}\alpha+\mathrm{2}\beta\right)}{\mathrm{2}}={Z}/\mathrm{2} \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{II}. \\ $$$$\mathrm{sin}\:\alpha×\mathrm{sin}\:\beta×\mathrm{sin}\:\gamma \\ $$$$\mathrm{with}\:\gamma=\pi−\left(\alpha+\beta\right)\:\mathrm{and} \\ $$$$\mathrm{sin}\left(\pi−\left(\alpha+\beta\right)\right)=\mathrm{sin}\left(\alpha+\beta\right)\:\mathrm{this} \\ $$$$\mathrm{becomes} \\ $$$$\mathrm{sin}\:\alpha×\mathrm{sin}\:\beta×\mathrm{sin}\left(\alpha+\beta\right)= \\ $$$$=\mathrm{sin}\:\alpha×\mathrm{sin}\:\beta×\left(\mathrm{cos}\:\alpha×\mathrm{sin}\:\beta+\mathrm{sin}\:\alpha×\mathrm{cos}\:\beta\right)= \\ $$$$=\mathrm{sin}\:\alpha×\mathrm{cos}\:\alpha×\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \beta+\mathrm{sin}\:\beta×\mathrm{cos}\:\beta×\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \alpha= \\ $$$$\:\:\:\:\:\left[\mathrm{using}\:\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \theta=\frac{\mathrm{1}−\mathrm{cos}\:\mathrm{2}\theta}{\mathrm{2}}\right] \\ $$$$=\frac{\mathrm{sin}\:\mathrm{2}\alpha}{\mathrm{2}}×\frac{\mathrm{1}−\mathrm{cos}\:\mathrm{2}\beta}{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{sin}\:\mathrm{2}\beta}{\mathrm{2}}×\frac{\mathrm{1}−\mathrm{cos}\:\mathrm{2}\alpha}{\mathrm{2}}= \\ $$$$=\frac{\mathrm{sin}\:\mathrm{2}\alpha−\mathrm{sin}\:\mathrm{2}\alpha×\mathrm{cos}\:\mathrm{2}\beta+\mathrm{sin}\:\mathrm{2}\beta−\mathrm{sin}\:\mathrm{2}\beta×\mathrm{cos}\:\mathrm{2}\alpha}{\mathrm{4}}= \\ $$$$\:\:\:\:\:\left[\mathrm{using}\:\mathrm{sin}\:\theta×\mathrm{cos}\:\phi=\frac{\mathrm{sin}\left(\theta−\phi\right)+\mathrm{sin}\left(\theta+\phi\right)}{\mathrm{2}}\right] \\ $$$$=\frac{\mathrm{sin}\:\mathrm{2}\alpha−\frac{\mathrm{sin}\left(\mathrm{2}\alpha−\mathrm{2}\beta\right)+\mathrm{sin}\left(\mathrm{2}\alpha+\mathrm{2}\beta\right)}{\mathrm{2}}+\mathrm{sin}\:\mathrm{2}\beta−\frac{\mathrm{sin}\left(\mathrm{2}\beta−\mathrm{2}\alpha\right)+\mathrm{sin}\left(\mathrm{2}\beta+\mathrm{2}\alpha\right)}{\mathrm{2}}}{\mathrm{4}}= \\ $$$$=\frac{\mathrm{sin}\:\mathrm{2}\alpha+\mathrm{sin}\:\mathrm{2}\beta−\frac{\mathrm{sin}\left(\mathrm{2}\alpha−\mathrm{2}\beta\right)+\mathrm{sin}\left(\mathrm{2}\alpha+\mathrm{2}\beta\right)−\mathrm{sin}\left(\mathrm{2}\alpha−\mathrm{2}\beta\right)+\mathrm{sin}\left(\mathrm{2}\alpha+\mathrm{2}\beta\right)}{\mathrm{2}}}{\mathrm{4}}= \\ $$$$=\frac{\mathrm{sin}\:\mathrm{2}\alpha+\mathrm{sin}\:\mathrm{2}\beta−\mathrm{sin}\left(\mathrm{2}\alpha+\mathrm{2}\beta\right)}{\mathrm{4}} \\ $$$$=\frac{\mathrm{sin}\:\mathrm{2}\alpha+\mathrm{sin}\:\mathrm{2}\beta−\mathrm{sin}\left(\mathrm{2}\alpha+\mathrm{2}\beta\right)}{\mathrm{4}}={Z}/\mathrm{4} \\ $$$$ \\ $$$$\frac{{Z}/\mathrm{2}}{{Z}/\mathrm{4}}=\mathrm{2} \\ $$
Commented by mondodotto@gmail.com last updated on 23/Mar/18
$$\mathrm{thanx}\:\mathrm{i}\:\mathrm{really}\:\mathrm{appreciate}\:\mathrm{this} \\ $$