Question Number 34230 by byaw last updated on 03/May/18
Answered by MJS last updated on 03/May/18
$$\mathrm{aerial}: \\ $$$$\mathrm{bottom}\:{C}=\begin{pmatrix}{\mathrm{0}}\\{\mathrm{0}}\end{pmatrix} \\ $$$$\mathrm{top}\:{B}=\begin{pmatrix}{\mathrm{0}}\\{{a}}\end{pmatrix} \\ $$$$\mathrm{surveyor}: \\ $$$$\mathrm{position}\:\mathrm{1}\:{A}_{\mathrm{1}} =\begin{pmatrix}{{b}_{\mathrm{1}} }\\{\mathrm{0}}\end{pmatrix} \\ $$$$\mathrm{position}\:\mathrm{2}\:{A}_{\mathrm{2}} =\begin{pmatrix}{{b}_{\mathrm{1}} }\\{−\mathrm{30}}\end{pmatrix} \\ $$$$\mathrm{triangle}\:{A}_{\mathrm{1}} {BC} \\ $$$${a}={BC};\:{b}_{\mathrm{1}} ={CA}_{\mathrm{1}} ;\:{c}_{\mathrm{1}} ={A}_{\mathrm{1}} {B} \\ $$$$\alpha_{\mathrm{1}} =\angle{CA}_{\mathrm{1}} {B}=\mathrm{48}°;\:\beta_{\mathrm{1}} =\angle{A}_{\mathrm{1}} {BC}=\mathrm{42}°;\:\gamma_{\mathrm{1}} =\angle{BCA}_{\mathrm{1}} =\mathrm{90}° \\ $$$${a}^{\mathrm{2}} +{b}_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{2}} ={c}_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{triangle}\:{A}_{\mathrm{2}} {BC} \\ $$$${a}={BC};\:{b}_{\mathrm{2}} ={CA}_{\mathrm{2}} ;\:{c}_{\mathrm{2}} ={A}_{\mathrm{2}} {B} \\ $$$$\alpha_{\mathrm{2}} =\angle{CA}_{\mathrm{2}} {B}=\mathrm{44}°;\:\beta_{\mathrm{2}} =\angle{A}_{\mathrm{2}} {BC}=\mathrm{46}°;\:\gamma_{\mathrm{2}} =\angle{BCA}_{\mathrm{2}} =\mathrm{90}° \\ $$$${a}^{\mathrm{2}} +{b}_{\mathrm{2}} ^{\mathrm{2}} ={c}_{\mathrm{2}} ^{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{triangle}\:{A}_{\mathrm{2}} {CA}_{\mathrm{1}} \\ $$$${b}_{\mathrm{1}} ={CA}_{\mathrm{1}} ;\:\mathrm{30}={A}_{\mathrm{1}} {A}_{\mathrm{2}} ;\:{b}_{\mathrm{2}} ={A}_{\mathrm{2}} {C} \\ $$$${b}_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{2}} +\mathrm{900}={b}_{\mathrm{2}} ^{\mathrm{2}} \\ $$$$ \\ $$$$\frac{{a}}{\mathrm{sin}\:\mathrm{48}°}=\frac{{b}_{\mathrm{1}} }{\mathrm{sin}\:\mathrm{42}°}\:\Rightarrow\:{b}_{\mathrm{1}} ={a}\frac{\mathrm{sin}\:\mathrm{42}°}{\mathrm{sin}\:\mathrm{48}°}={a}×\mathrm{tan}\:\mathrm{42}° \\ $$$$\frac{{a}}{\mathrm{sin}\:\mathrm{44}°}=\frac{{b}_{\mathrm{2}} }{\mathrm{sin}\:\mathrm{46}°}\:\Rightarrow\:{b}_{\mathrm{2}} ={a}\frac{\mathrm{sin}\:\mathrm{46}°}{\mathrm{sin}\:\mathrm{44}°}={a}×\mathrm{tan}\:\mathrm{46}° \\ $$$$\left({a}×\mathrm{tan}\:\mathrm{42}°\right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{900}=\left({a}×\mathrm{tan}\:\mathrm{46}°\right)^{\mathrm{2}} \\ $$$${a}=\sqrt{\frac{\mathrm{900}}{\mathrm{tan}^{\mathrm{2}} \:\mathrm{46}°−\mathrm{tan}^{\mathrm{2}} \:\mathrm{42}°}}\approx\mathrm{58}.\mathrm{66}{m} \\ $$