Question Number 34760 by Tinkutara last updated on 10/May/18
Answered by Rasheed.Sindhi last updated on 11/May/18
$$\mathrm{Answer}\:\mathrm{in}\:\mathrm{more}\:\mathrm{technical}\:\mathrm{style} \\ $$$$\bullet\mathrm{At}\:\mathrm{least}\:\mathrm{two}\:\mathrm{sides}\:\mathrm{are}\:\mathrm{equal}\:\mathrm{and}\:\mathrm{each} \\ $$$$\mathrm{side}\:\mathrm{is}\:\mathrm{not}\:\mathrm{greater}\:\mathrm{than}\:\mathrm{4}. \\ $$$$\bullet\mathrm{Sum}\:\mathrm{of}\:\mathrm{any}\:\mathrm{of}\:\mathrm{two}\:\mathrm{sides}>\mathrm{Third}\:\mathrm{side}. \\ $$$$\mathrm{So}\:\mathrm{the}\:\mathrm{triangles}\:\mathrm{with}\:\mathrm{integer}\:\mathrm{sides}\:\mathrm{are} \\ $$$$\left(\mathrm{1},\mathrm{1},\mathrm{c}\right) \\ $$$$\:\:\:\mathrm{c}\leqslant\mathrm{4}\:\wedge\:\mathrm{c}<\mathrm{1}+\mathrm{1}=\mathrm{2}\Rightarrow\mathrm{c}<\mathrm{2} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{c}=\mathrm{1}\:\left(\mathrm{1}\:\mathrm{triangle}\right) \\ $$$$\left(\mathrm{2},\mathrm{2},\mathrm{c}\right) \\ $$$$\:\:\:\:\mathrm{c}\leqslant\mathrm{4}\:\wedge\:\mathrm{c}<\mathrm{2}+\mathrm{2}=\mathrm{4}\Rightarrow\mathrm{c}<\mathrm{4} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{c}=\mathrm{1},\mathrm{2},\mathrm{3}\:\left(\mathrm{3}\:\mathrm{triangles}\right) \\ $$$$\left(\mathrm{3},\mathrm{3},\mathrm{c}\right) \\ $$$$\:\:\mathrm{c}\leqslant\mathrm{4}\:\wedge\:\mathrm{c}<\mathrm{3}+\mathrm{3}=\mathrm{6}\Rightarrow\mathrm{c}\leqslant\mathrm{4} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{c}=\mathrm{1},\mathrm{2},\mathrm{3},\mathrm{4}\:\:\left(\mathrm{4}\:\mathrm{triangles}\right) \\ $$$$\left(\mathrm{4},\mathrm{4},\mathrm{c}\right) \\ $$$$\:\:\mathrm{c}\leqslant\mathrm{4}\:\wedge\:\mathrm{c}<\mathrm{4}+\mathrm{4}=\mathrm{8}\Rightarrow\mathrm{c}\leqslant\mathrm{4}\: \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{c}=\mathrm{1},\mathrm{2},\mathrm{3},\mathrm{4}\:\:\left(\mathrm{4}\:\mathrm{triangles}\right) \\ $$$$\mathrm{Number}\:\mathrm{of}\:\mathrm{required}\:\mathrm{triangles} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\mathrm{1}+\mathrm{3}+\mathrm{4}+\mathrm{4}=\mathrm{12}\:\mathrm{triangles}. \\ $$$$ \\ $$
Commented by Tinkutara last updated on 11/May/18
Thank you very much Sir! I got the answer. ��������
Answered by Rasheed.Sindhi last updated on 21/May/18
$$\mathrm{Solution}\:\mathrm{by}\:\mathrm{hint}\:\mathrm{given}\:\mathrm{in}\:\mathrm{question}. \\ $$$$\:\bullet\mathrm{At}\:\mathrm{least}\:\mathrm{two}\:\mathrm{sides}\:\mathrm{are}\:\mathrm{equal}\:\mathrm{and}\:\mathrm{any} \\ $$$$\:\:\mathrm{of}\:\:\mathrm{the}\:\:\mathrm{sides}\:\mathrm{is}\:\mathrm{not}\:\mathrm{greater}\:\mathrm{than}\:\mathrm{4}. \\ $$$$\bullet\mathrm{All}\:\mathrm{sides}\:\mathrm{are}\:\mathrm{positive}\:\mathrm{integer}. \\ $$$$\bullet\mathrm{Sum}\:\mathrm{of}\:\mathrm{any}\:\mathrm{two}\:\mathrm{sides}>\mathrm{Third}\:\mathrm{side}. \\ $$$$ \\ $$$$\:\mathrm{Let}\:\mathrm{p}\leqslant\mathrm{q}\leqslant\mathrm{r}\:,\:\mathrm{p},\mathrm{q},\mathrm{r}\:\mathrm{being}\:\mathrm{sides}\:\mathrm{of}\:\mathrm{the}\:\mathrm{triangle}. \\ $$$$\:\:\:\bullet\:\mathrm{For}\:\mathrm{a}\:\mathrm{fix}\:\:\mathrm{r}\:,\:\:\underset{−} {\:\:\:\:\:\:\mathrm{r}+\mathrm{1}\leqslant\mathrm{p}+\mathrm{q}\leqslant\mathrm{2r}\:\:\:\:} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{r}\:\mathrm{maybe}\:\mathrm{1},\mathrm{2},\mathrm{3},\mathrm{4} \\ $$$$\mathrm{r}=\mathrm{4},\:\:\:\:\:\:\mathrm{5}\leqslant\mathrm{p}+\mathrm{q}\leqslant\mathrm{8} \\ $$$$\mathrm{p}+\mathrm{q}=\mathrm{5}\::\:\left(\mathrm{1},\mathrm{4},\mathrm{4}\right)\: \\ $$$$\mathrm{p}+\mathrm{q}=\mathrm{6}\::\:\left(\mathrm{2},\mathrm{4},\mathrm{4}\right)\:\left(\mathrm{3},\mathrm{3},\mathrm{4}\right)\: \\ $$$$\mathrm{p}+\mathrm{q}=\mathrm{7}\::\:\left(\mathrm{3},\mathrm{4},\mathrm{4}\right)\: \\ $$$$\mathrm{p}+\mathrm{q}=\mathrm{8}\::\:\left(\mathrm{4},\mathrm{4},\mathrm{4}\right)\:−−\mathrm{5}\:\mathrm{triangles} \\ $$$$\mathrm{r}=\mathrm{3},\:\:\mathrm{4}\leqslant\mathrm{p}+\mathrm{q}\leqslant\mathrm{6} \\ $$$$\mathrm{p}+\mathrm{q}=\mathrm{4}\::\:\left(\mathrm{1},\mathrm{3},\mathrm{3}\right)\left(\mathrm{2},\mathrm{2},\mathrm{3}\right) \\ $$$$\mathrm{p}+\mathrm{q}=\mathrm{5}\::\:\left(\mathrm{2},\mathrm{3},\mathrm{3}\right) \\ $$$$\mathrm{p}+\mathrm{q}=\mathrm{6}\::\:\left(\mathrm{3},\mathrm{3},\mathrm{3}\right)\:−−\mathrm{4}\:\mathrm{triangles} \\ $$$$\mathrm{r}=\mathrm{2},\:\:\mathrm{3}\leqslant\mathrm{p}+\mathrm{q}\leqslant\mathrm{4} \\ $$$$\mathrm{p}+\mathrm{q}=\mathrm{3}\::\:\left(\mathrm{1},\mathrm{2},\mathrm{2}\right) \\ $$$$\mathrm{p}+\mathrm{q}=\mathrm{4}\::\:\left(\mathrm{2},\mathrm{2},\mathrm{2}\right)\:−−\mathrm{2}\:\mathrm{triangles} \\ $$$$\mathrm{r}=\mathrm{1}\:,\:\:\mathrm{2}\leqslant\mathrm{p}+\mathrm{q}\leqslant\mathrm{2} \\ $$$$\mathrm{p}+\mathrm{q}=\mathrm{2}\::\:\left(\mathrm{1},\mathrm{1},\mathrm{1}\right)\:−−\mathrm{1}\:\mathrm{triangle} \\ $$$$\mathrm{Number}\:\mathrm{of}\:\mathrm{triplets}\left(\mathrm{triangles}\right)= \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{5}+\mathrm{4}+\mathrm{2}+\mathrm{1}=\mathrm{12} \\ $$