Question Number 34870 by Tinkutara last updated on 12/May/18
Commented by Tinkutara last updated on 15/May/18
please help
Commented by Tinkutara last updated on 16/May/18
Anyone please see it.
Commented by Tinkutara last updated on 16/May/18
Commented by Tinkutara last updated on 16/May/18
Actually this was the whole comprehension.
Answered by Rasheed.Sindhi last updated on 20/May/18
$$\mathrm{Pattern}\:\mathrm{approach} \\ $$$$\mathrm{Using}\:\mathrm{strategy}\:\mathrm{of}\:\mathrm{Q}#\mathrm{34760},\mathrm{we}\:\mathrm{can} \\ $$$$\mathrm{determine}\:'\mathrm{number}\:\mathrm{of}\:\mathrm{triangles}'\:\mathrm{for} \\ $$$$\mathrm{various}\:\mathrm{values}\:\mathrm{of}\:\mathrm{c}:\left(\mathrm{In}\:\mathrm{the}\:\mathrm{following}\:\mathrm{N}\right. \\ $$$$\left.\mathrm{denotes}\:\mathrm{number}\:\mathrm{of}\:\mathrm{triangle}.\right) \\ $$$$\begin{pmatrix}{\mathrm{c}}&{\mathrm{N}}\\{\mathrm{1}}&{\mathrm{3}}\\{\mathrm{2}}&{\mathrm{12}}\\{\mathrm{3}}&{\mathrm{27}}\\{\mathrm{4}}&{\mathrm{48}}\\{\mathrm{5}}&{\mathrm{75}}\\{\vdots}&{\vdots}\end{pmatrix} \\ $$$$\mathrm{Number}\:\mathrm{of}\:\mathrm{triangles}\left(\mathrm{N}\right)\:\mathrm{make}\:\mathrm{following}\: \\ $$$$\:\mathrm{sequence}\:: \\ $$$$\:\mathrm{3},\mathrm{12},\mathrm{27},\mathrm{48},\mathrm{75},\mathrm{108},…. \\ $$$$\mathrm{We}\:\mathrm{can}\:\mathrm{easily}\:\mathrm{determine}\:\mathrm{general}\:\mathrm{term}: \\ $$$$\begin{bmatrix}{\mathrm{c}}&{\mathrm{1}}&{\mathrm{2}}&{\mathrm{3}}&{\mathrm{4}}&{\mathrm{5}}&{\mathrm{6}}&{..}\\{\mathrm{N}}&{\mathrm{3}}&{\mathrm{12}}&{\mathrm{27}}&{\mathrm{48}}&{\mathrm{75}}&{\mathrm{108}}&{..}\\{}&{\mathrm{3}.\mathrm{1}}&{\mathrm{3}.\mathrm{4}}&{\mathrm{3}.\mathrm{9}}&{\mathrm{3}.\mathrm{16}}&{\mathrm{3}.\mathrm{25}}&{\mathrm{3}.\mathrm{36}}&{..}\\{}&{\mathrm{3}.\mathrm{1}^{\mathrm{2}} }&{\mathrm{3}.\mathrm{2}^{\mathrm{2}} }&{\mathrm{3}.\mathrm{3}^{\mathrm{2}} }&{\mathrm{3}.\mathrm{4}^{\mathrm{2}} }&{\mathrm{3}.\mathrm{5}^{\mathrm{2}} }&{\mathrm{3}.\mathrm{6}^{\mathrm{2}} }&{..}\end{bmatrix} \\ $$$$\mathrm{Hence}\:\mathrm{general}\:\mathrm{term}\:\mathrm{is}\:\mathrm{3c}^{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{Number}\:\mathrm{of}\:\mathrm{triangles}\::\:\mathrm{3c}^{\mathrm{2}} \\ $$
Answered by Tinkutara last updated on 22/May/18
Commented by Tinkutara last updated on 22/May/18
This was the solution. Can you please elaborate it? I can't understand it.
Answered by Rasheed.Sindhi last updated on 24/May/18
$$\mathrm{A}\:\mathrm{try}\:\mathrm{to}\:\mathrm{elaborate}\:\mathrm{the}\:\mathrm{answer}\:\mathrm{given} \\ $$$$\mathrm{with}\:\mathrm{question}\:\mathrm{in}\:\mathrm{the}\:\mathrm{book}. \\ $$$$\left(\mathrm{See}\:\mathrm{ans}\:\mathrm{by}\:\mathrm{Mr}\:\mathrm{Tinkutara}\:\mathrm{here}\right) \\ $$$$\left({a},{a},{b}\right):\mathrm{A}\:\mathrm{triangle},\:\left(\mathrm{i}\right)\:\mathrm{with}\:\mathrm{integer}\:\mathrm{sides} \\ $$$$\mathrm{and}\:\left(\mathrm{ii}\right)\:\mathrm{at}\:\mathrm{least}\:\mathrm{two}\:\mathrm{sides}\:\mathrm{are}\:\mathrm{equal}\:\mathrm{with} \\ $$$$\mathrm{the}\:\mathrm{possibility}\:{a}={b}. \\ $$$$\mathrm{By}\:\mathrm{triangle}\:\mathrm{inequality}, \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:{a}+{a}>{b}\Rightarrow\:\:\mathrm{2}{a}−\mathrm{1}\geqslant{b} \\ $$$$\mathrm{Also}\:\:\:\:{b}\geqslant\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{So}, \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{2}{a}−\mathrm{1}\geqslant{b}\geqslant\mathrm{1}……………\mathrm{A} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{1}\leqslant{a},{b}\leqslant\mathrm{2c}\:\:\left(\mathrm{Given}\right)…….\mathrm{B} \\ $$$$\mathrm{Case}-\mathrm{1}:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{1}\leqslant{a}\leqslant\mathrm{c}\: \\ $$$$\:\:\:\mathrm{1}\leqslant{b}\leqslant\mathrm{2}{c}\:\wedge\:{b}\leqslant\mathrm{2}{a}−\mathrm{1}\:\Rightarrow\mathrm{1}\leqslant{b}\leqslant\mathrm{2}{a}−\mathrm{1}\:\ast \\ $$$$\:\:\mathrm{i}-\mathrm{e}\:\mathrm{there}\:\mathrm{are}\:\mathrm{2}{a}−\mathrm{1}\:\mathrm{choices}\:\mathrm{for}\:{b}\:\mathrm{when} \\ $$$$\:\:{a}\:\mathrm{is}\:\mathrm{fixed}. \\ $$$$\mathrm{For}\:{a}={c}\:\rightarrow\:\mathrm{2}{c}−\mathrm{1}\:{choices}\:{for}\:{b} \\ $$$$\mathrm{For}\:{a}={c}−\mathrm{1}\rightarrow\:\mathrm{2}\left({c}−\mathrm{1}\right)−\mathrm{1}=\mathrm{2}{c}−\mathrm{3}\:{choices}\:{for}\:{b} \\ $$$$\mathrm{For}\:{a}={c}−\mathrm{2}\rightarrow\:\mathrm{2}\left({c}−\mathrm{2}\right)−\mathrm{1}=\mathrm{2}{c}−\mathrm{5}\:{choices}\:{for}\:{b} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:…… \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:….. \\ $$$$\mathrm{For}\:{a}=\mathrm{2}\rightarrow\:\mathrm{2}\left(\mathrm{2}\right)−\mathrm{1}=\mathrm{3}\:{choices}\:{for}\:{b} \\ $$$$\mathrm{For}\:{a}=\mathrm{1}\rightarrow\:\mathrm{2}\left(\mathrm{1}\right)−\mathrm{1}=\mathrm{1}\:{choices}\:{for}\:{b} \\ $$$$\mathrm{Total}\:\mathrm{choices}\:\mathrm{for}\:\mathrm{this}\:\mathrm{case} \\ $$$$\underset{−−−−−−−−−−−−{c}\:{terms}−−−−−−} {\left(\mathrm{2c}−\mathrm{1}\right)+\left(\mathrm{2c}−\mathrm{3}\right)+\left(\mathrm{2c}+\mathrm{5}\right)…+\mathrm{3}+\mathrm{1}}={c}^{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{Notice}\:\mathrm{that}\:\mathrm{above}\:\mathrm{is}\:\mathrm{the}\:\mathrm{sum}\:\:\mathrm{of}\:\mathrm{c}\:\mathrm{consecutive} \\ $$$$\mathrm{odd}\:\mathrm{numbers}.\left(\mathrm{Treate}\:\mathrm{it}\:\mathrm{as}\:\mathrm{AP}\right) \\ $$$$\mathrm{Case}-\mathrm{2}:\:\:\:\:\:\:\mathrm{c}+\mathrm{1}\leqslant{a}\leqslant\mathrm{2c}\:\left(\mathrm{c}\:\mathrm{values}\right) \\ $$$$\:\:\:\:{b}\leqslant\mathrm{2c}\:\wedge\:\mathrm{1}\leqslant{b}\leqslant\mathrm{2}{a}−\mathrm{1}\:\Rightarrow\mathrm{1}\leqslant{b}\leqslant\mathrm{2}{c}\:\ast\ast \\ $$$$\mathrm{i}-\mathrm{e}\:{b}\:\mathrm{takes}\:\:\mathrm{2c}\:\mathrm{values}. \\ $$$$\because\:{a}\:\mathrm{takes}\:{c}\:\mathrm{values}\:\mathrm{from}\:\mathrm{c}+\mathrm{1}\:\mathrm{to}\:\mathrm{2c} \\ $$$$\:\:\:\:\mathrm{and}\:\mathrm{for}\:\mathrm{each}\:\mathrm{of}\:\mathrm{these}\:\mathrm{values}\: \\ $$$$\:\:\:\:\:{b}\:\mathrm{takes}\:\mathrm{2}{c}\:\mathrm{vales} \\ $$$$\therefore\:\left({a},{a},{b}\right)\:\mathrm{takes}\:{c}.\mathrm{2}{c}=\mathrm{2}{c}^{\mathrm{2}} \:\mathrm{values} \\ $$$$\mathrm{Case}-\mathrm{1}\:\:\&\:\:\mathrm{Case}-\mathrm{2}: \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:{c}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}{c}^{\mathrm{2}} =\mathrm{3}{c}^{\mathrm{2}} \\ $$$${Number}\:{of}\:\left({a},{a},{b}\right)=\mathrm{3}{c}^{\mathrm{2}} \\ $$
Commented by Rasheed.Sindhi last updated on 24/May/18
$$\:\ast\:\mathrm{For}\:\mathrm{1}\leqslant{a}\leqslant{c} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:{b}\leqslant\mathrm{2}{c}\:\wedge\:{b}\leqslant\mathrm{2}{a}−\mathrm{1} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\Rightarrow{b}\leqslant\mathrm{2}{a}−\mathrm{1} \\ $$$$\left[\:\:{b}\leqslant\mathrm{2}{c}\:\wedge\:{b}\leqslant\mathrm{2}{a}−\mathrm{1}\Rightarrow{b}\leqslant\mathrm{min}\left(\mathrm{2}{c},\mathrm{2}{a}−\mathrm{1}\right)\right. \\ $$$$\mathrm{1}\leqslant{a}\leqslant{c}\Rightarrow\mathrm{2}\leqslant\mathrm{2}{a}−\mathrm{1}\leqslant\mathrm{2}{c}−\mathrm{1} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\Rightarrow\mathrm{2}{a}−\mathrm{1}\leqslant\mathrm{2}{c} \\ $$$$\left.\mathrm{So}\:\mathrm{2}{a}−\mathrm{1}\:\mathrm{is}\:\mathrm{always}\:\mathrm{less}\:\mathrm{than}\:\mathrm{2}{c}\:\right] \\ $$$$\ast\ast\:\mathrm{For}\:\:\:{c}+\mathrm{1}\leqslant{a}\leqslant\mathrm{2}{c} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:{b}\leqslant\mathrm{2}{c}\:\wedge\:{b}\leqslant\mathrm{2}{a}−\mathrm{1} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\Rightarrow{b}\leqslant\mathrm{2}{c} \\ $$$$\left[\:\:{b}\leqslant\mathrm{2}{c}\:\wedge\:{b}\leqslant\mathrm{2}{a}−\mathrm{1}\Rightarrow{b}\leqslant\mathrm{min}\left(\mathrm{2}{c},\mathrm{2}{a}−\mathrm{1}\right)\right. \\ $$$$\:{c}+\mathrm{1}\leqslant{a}\leqslant\mathrm{2}{c}\Rightarrow\mathrm{2}{c}\leqslant\mathrm{2}{a}−\mathrm{1}\leqslant\mathrm{4}{c}−\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{So}\:\mathrm{2}{c}\:\mathrm{always}\:\mathrm{less}\:\mathrm{than}\:\mathrm{2}{a}−\mathrm{1} \\ $$$$ \\ $$
Commented by Tinkutara last updated on 24/May/18
Thank you very much Sir! I got the answer.