Question Number 46020 by mondodotto@gmail.com last updated on 20/Oct/18
Answered by tanmay.chaudhury50@gmail.com last updated on 20/Oct/18
$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int\frac{{x}^{\mathrm{2}} +{x}+\mathrm{1}}{{x}\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} +{x}+\mathrm{1}}}{dx} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int\frac{{x}}{\:\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} +{x}+\mathrm{1}}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int\frac{{dx}}{\:\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} +{x}+\mathrm{1}}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int\frac{{dx}}{{x}\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} +{x}+\mathrm{1}}} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\int\frac{\mathrm{2}{x}+\mathrm{1}−\mathrm{1}}{\:\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} +{x}+\mathrm{1}}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int\frac{{dx}}{\:\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} +{x}+\mathrm{1}}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int\frac{{dx}}{{x}\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} +{x}+\mathrm{1}}} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\int\frac{{d}\left({x}^{\mathrm{2}} +{x}+\mathrm{1}\right)}{\:\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} +{x}+\mathrm{1}}}+\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\right)\int\frac{{dx}}{\:\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}.{x}.\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{4}}}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int\frac{{dx}}{{x}\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} +{x}+\mathrm{1}}} \\ $$$${I}_{\mathrm{1}} +{I}_{\mathrm{2}} +{I}_{\mathrm{3}} \\ $$$${I}_{\mathrm{1}} =\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}×\frac{\left({x}^{\mathrm{2}} +{x}+\mathrm{1}\right)^{\frac{−\mathrm{1}}{\mathrm{2}}+\mathrm{1}} }{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}+{c}_{\mathrm{1}} \\ $$$${I}_{\mathrm{1}} =\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}×\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} +{x}+\mathrm{1}}\:+{c}_{\mathrm{1}} \leftarrow{I}_{\mathrm{1}} \\ $$$${I}_{\mathrm{2}} =\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\int\frac{{dx}}{\:\sqrt{\left({x}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{2}} +\left(\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{2}} }\:} \\ $$$${I}_{\mathrm{2}} =\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}{ln}\left\{\left({x}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)+\sqrt{\left({x}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{2}} +\left(\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{2}} }\:\right\}+{c}_{\mathrm{2}} \\ $$$$\:\:\:\:\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}{ln}\left\{\left({x}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)+\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} +{x}+\mathrm{1}}\:\right\}+{c}_{\mathrm{2}} \\ $$$${I}_{\mathrm{3}} =\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int\frac{{dx}}{{x}\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} +{x}+\mathrm{1}}\:} \\ $$$${let}\:{x}=\frac{\mathrm{1}}{{t}}\:\:\:{dx}=−\frac{\mathrm{1}}{{t}^{\mathrm{2}} }{dt} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int\frac{−{dt}}{{t}^{\mathrm{2}} ×\frac{\mathrm{1}}{{t}}×\sqrt{\frac{\mathrm{1}}{{t}^{\mathrm{2}} }+\frac{\mathrm{1}}{{t}}+\mathrm{1}}} \\ $$$$=\frac{−\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int\frac{{tdt}}{{t}\sqrt{\mathrm{1}+{t}+{t}^{\mathrm{2}} }} \\ $$$$=\frac{−\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int\frac{{dt}}{\:\sqrt{\left({t}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{2}} +\left(\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{2}} }} \\ $$$$\frac{−\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{ln}\left\{\left({t}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)+\sqrt{\left({t}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{2}} +\left(\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{2}} }\:\right\}+{c}_{\mathrm{3}} \\ $$$$=\frac{−\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{ln}\left\{\left(\frac{\mathrm{1}}{{x}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)+\sqrt{\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{{x}}+\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{2}} }}\:\right\}+{c}_{\mathrm{3}} \\ $$