Question Number 46382 by peter frank last updated on 24/Oct/18
Answered by tanmay.chaudhury50@gmail.com last updated on 25/Oct/18
$$\frac{{dy}}{{dx}}=−\frac{{y}^{\mathrm{2}} +{y}+\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{2}} +{x}+\mathrm{1}} \\ $$$$\frac{{dy}}{{y}^{\mathrm{2}} +{y}+\mathrm{1}}+\frac{{dx}}{{x}^{\mathrm{2}} +{x}+\mathrm{1}}=\mathrm{0} \\ $$$$\int\frac{{dy}}{{y}^{\mathrm{2}} +{y}+\mathrm{1}}+\int\frac{{dx}}{{x}^{\mathrm{2}} +{x}+\mathrm{1}}={C} \\ $$$$\int\frac{{dy}}{{y}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}×{y}×\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{4}}}+\int\frac{{dx}}{\left({x}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{2}} +\left(\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\frac{\mathrm{2}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}{tan}^{−\mathrm{1}} \left(\frac{{y}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}{\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}}\right)+\frac{\mathrm{2}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}{tan}^{−\mathrm{1}} \left(\frac{{x}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}{\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}}\right)={c} \\ $$$${tan}^{−\mathrm{1}} \left(\frac{\mathrm{2}{y}+\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\right)+{tan}^{−\mathrm{1}} \left(\frac{\mathrm{2}{x}+\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\right)=\frac{\sqrt{\mathrm{3}}\:{c}}{\mathrm{2}} \\ $$$${tan}^{−\mathrm{1}} \left(\frac{\frac{\mathrm{2}{y}+\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}+\frac{\mathrm{2}{x}+\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}}{\mathrm{1}−\left(\frac{\mathrm{4}{xy}+\mathrm{2}{y}+\mathrm{2}{x}+\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\right)}\right)={C}_{\mathrm{1}} \\ $$$$\frac{\left(\mathrm{2}{x}+\mathrm{2}{y}+\mathrm{2}\right)}{\:\sqrt{\mathrm{3}}\:\left(\frac{\mathrm{3}−\mathrm{4}{xy}−\mathrm{2}{x}−\mathrm{2}{y}−\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\right)}={tanC}_{\mathrm{1}} \\ $$$$\frac{\sqrt{\mathrm{3}}\:×\mathrm{2}\left({x}+{y}+\mathrm{1}\right)}{\mathrm{2}\left(\mathrm{1}−\mathrm{2}{xy}−{x}−{y}\right)}={tanC}_{\mathrm{1}} \\ $$$$\frac{{x}+{y}+\mathrm{1}}{\mathrm{1}−\mathrm{2}{xy}−{x}−{y}}=\frac{{tanC}_{\mathrm{1}} }{\:\sqrt{\mathrm{3}}}={A} \\ $$$$\left({x}+{y}+\mathrm{1}\right)={A}\left(\mathrm{1}−\mathrm{2}{xy}−{x}−{y}\right) \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$