Question Number 50047 by peter frank last updated on 13/Dec/18
Answered by peter frank last updated on 13/Dec/18
$$\mathrm{P}=\left(\mathrm{acos}\theta,\mathrm{bsin}\theta\right) \\ $$$$\mathrm{Q}=\left(-\mathrm{asin}\theta,\mathrm{bcos}\theta\right) \\ $$$$\mathrm{O}=\left(\mathrm{0},\mathrm{0}\right) \\ $$$$\mathrm{L}^{\mathrm{2}} =\left(\mathrm{x}_{\mathrm{2}} −\mathrm{x}_{\mathrm{1}} \right)^{\mathrm{2}} +\left(\mathrm{y}_{\mathrm{2}} −\mathrm{y}_{\mathrm{1}} \right)^{\mathrm{2}} \\ $$$$\left(\mathrm{PO}\right)^{\mathrm{2}} =\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \mathrm{cos}\:^{\mathrm{2}} \theta+\mathrm{b}^{\mathrm{2}} \mathrm{sin}\:^{\mathrm{2}} \theta \\ $$$$\left(\mathrm{OQ}\right)^{\mathrm{2}} =\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \theta+\mathrm{b}^{\mathrm{2}} \mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \theta \\ $$$$\left(\mathrm{PQ}\right)^{\mathrm{2}} +\left(\mathrm{OQ}\right)^{\mathrm{2}} ={a}^{\mathrm{2}} +{b}^{\mathrm{2}} \\ $$$$ \\ $$$$\left.{b}\right)\mathrm{A}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\mathrm{x}_{\mathrm{1}} \mathrm{y}_{\mathrm{2}} −\mathrm{x}_{\mathrm{2}} \mathrm{y}_{\mathrm{1}} \right) \\ $$$$\mathrm{A}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\mathrm{abcos}\:^{\mathrm{2}} \theta+\mathrm{absin}\:^{\mathrm{2}} \theta\right) \\ $$$$\mathrm{A}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{ab} \\ $$$$\left.\mathrm{c}\right)\:\mathrm{PQ}\left(\mathrm{x},\mathrm{y}\right)=\left(\frac{\mathrm{x}_{\mathrm{1}} +\mathrm{x}_{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}},\frac{\mathrm{y}_{\mathrm{1}} +\mathrm{y}_{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}\right) \\ $$$$\frac{\mathrm{2x}}{\mathrm{a}}=\mathrm{cos}\theta−\mathrm{sin}\:\theta\:\:….\left(\mathrm{i}\right)\:\:\:\frac{\mathrm{2y}}{\mathrm{b}}=\mathrm{sin}\:\theta+\mathrm{cos}\:\theta\:….\left(\mathrm{ii}\right) \\ $$$$\frac{\mathrm{4x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} }+\frac{\mathrm{4y}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{b}^{\mathrm{2}} }=\mathrm{2} \\ $$$$\frac{\mathrm{2x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} }+\frac{\mathrm{2y}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{b}^{\mathrm{2}} }=\mathrm{1} \\ $$$$ \\ $$