Question-51287

Question Number 51287 by aseerimad last updated on 25/Dec/18

Answered by mr W last updated on 26/Dec/18

{l e t}^{'} s l o o k a t a n e x a m p l e :

t h e n u m b e r 1234 c o n s i s t s o f 4 d i g i t s :

1 r e p r e s e n t s h e r e t h e v a l u e 1 \times 1000

2 r e p r e s e n t s h e r e t h e v a l u e 2 \times 100

3 r e p r e s e n t s h e r e t h e v a l u e 3 \times 10

4 r e p r e s e n t s h e r e t h e v a l u e 4 \times 1

\Rightarrow 1234 = 1 \times 1000 + 2 \times 100 + 3 \times 10 + 4 \times 1

s o w h e n w e w a n t t o g e t t h e s u m o f s o m e

n u m b e r s, w e o n l y n e e d t o c a l c u l a t e

t h e s u m o f t h e v a l u e s w h i c h t h e i r

d i g i t s r e p r e s e n t . f o r e x a m p l e :

1234 + 4321

= (1 + 4) \times 1000 + (2 + 3) \times 100 + (3 + 2) \times 10 + (4 + 1) \times 1

= 5 \times (1000 + 100 + 10 + 1)

= 5 \times 1111

= 5555

w e c a n u s e t h i s m e t h o d t o s o l v e o u r

p r o b l e m . i t s a d v a n t a g e i s t h a t w e

{d o n}^{'} t n e e d t o k n o w t h e n u m b e r s

t h e m s e l f . w e o n l y n e e d t o k n o w t h e

d i g i t s f r o m w h i c h t h e n u m b e r s a r e

f o r m e d . a n d w e k n o w t h e d i g i t s, t h e y

a r e 1, 2, 3 a n d 4 .

{l e t}^{'} s l o o k a t t h e d i g i t 1 :

i t c a n b e a t t h e t h o u s a n d s p l a c e a s

1 X Y Z . w e k n o w t h e r e a r e 3! n u m b e r s

i n w h i c h t h e d i g i t 1 i s a t t h e t h o u s a n d s

p l a c e . t h e s u m o f a l l v a l u e s w h i c h t h e

d i g i t 1 r e p r e s e n t i n t h e t h o u s a n d s p l a c e

i s t h e n 1 \times 1000 \times 3! .

s i m i l a r l y t h e d i g i t 1 c a n b e i n t h e

h u n d r e d s p l a c e . t h e r e a r e a l s o 3! s u c h

n u m b e r s . t h e s u m o f a l l v a l u e s w h i c h t h e

d i g i t 1 r e p r e s e n t i n t h e h u n d r e d s p l a c e

i s 1 \times 100 \times 3! .

s i m i l a r l y t h e d i g i t 1 c a n b e i n t h e

t e n s p l a c e . t h e r e a r e a l s o 3! s u c h

n u m b e r s . t h e s u m o f a l l v a l u e s w h i c h t h e

d i g i t 1 r e p r e s e n t i n t h e t e n s p l a c e

i s 1 \times 10 \times 3! .

f i n a l l y t h e d i g i t 1 c a n b e i n t h e

u n i t s p l a c e . t h e r e a r e a l s o 3! s u c h

n u m b e r s . t h e s u m o f a l l v a l u e s w h i c h t h e

d i g i t 1 r e p r e s e n t i n t h e u n i t s p l a c e

i s 1 \times 1 \times 3! .

i n t h i s w a y w e g e t t h e s u m o f a l l

v a l u e s w h i c h t h e d i g i t 1 r e p r e s e n t i n

a l l p o s s i b l e p l a c e s i s :

1 \times (1000 + 100 + 10 + 1) \times 3!

t h i s a p p l i e s a l s o f o r t h e d i g i t s 2, 3, 4 .

t h e s u m o f a l l v a l u e s w h i c h a l l o f

t h e s e 4 d i g i t s i n a l l p o s s i b l e p l a c e s

r e p r e s e n t i s t h e n

(1 + 2 + 3 + 4) \times (1000 + 100 + 10 + 1) \times 3!

t h i s i s a l s o t h e s u m o f a l l n u m b e r s

f o r m e d b y t h e s e 4 d i g i t s .

s o t h e a n s w e r f o r t h e q u e s t i o n i s

(1 + 2 + 3 + 4) \times (1000 + 100 + 10 + 1) \times 3!

= 10 \times (1000 + 100 + 10 + 1) \times 3!

= 10 \times 1111 \times 3!

= 10 \times 6666

= 66660

Commented by aseerimad last updated on 26/Dec/18

c a n y o u p l s e x p l a i n t h e m e t h o d ?

Commented by mr W last updated on 26/Dec/18

i h a v e a d d e d s o m e e x p l a n a t i o n i n t o

t h e w o r k i n g s . h o p e {i t}^{'} s c l e a r n o w .

Commented by aseerimad last updated on 26/Dec/18

T h a n k y o u T h a n k y o u v e r y m u c h . T h a n k y o u f o r e x p l a i n i n g i n s u c h a l u c i d w a y .

G o d B l e s s y o u .