Question Number 51691 by peter frank last updated on 29/Dec/18
Answered by afachri last updated on 29/Dec/18
$$\mathrm{suppose}\:\gamma\:=\:{U}_{\mathrm{1}} \:;\:\beta\:=\:{U}_{\mathrm{2}} \:;\:\alpha\:=\:{U}_{\mathrm{3}} \\ $$$$\boldsymbol{\gamma}\:,\:\boldsymbol{\beta}\:\:=\:\:\frac{−{a}\:\pm\:\sqrt{{a}^{\mathrm{2}} −\:\mathrm{4}{b}\:}}{\mathrm{2}} \\ $$$$\boldsymbol{\beta}\:−\:\boldsymbol{\gamma}\:\:=\:\:\frac{\left(−{a}\:−\:\sqrt{{a}^{\mathrm{2}} −\:\mathrm{4}{b}\:}\right)\:−\:\left(−{a}+\:\sqrt{{a}^{\mathrm{2}} −\:\mathrm{4}{b}}\right)}{\mathrm{2}} \\ $$$$\boldsymbol{\beta}\:−\:\boldsymbol{\gamma}\:\:=\:\:−\sqrt{{a}^{\mathrm{2}} −\:\mathrm{4}{b}\:\:}\:\:\boldsymbol{\mathrm{or}}\:\:\:\:\beta\:−\:\gamma\:\:=\:+\sqrt{{a}^{\mathrm{2}} −\:\mathrm{4}{b}\:\:} \\ $$$$\boldsymbol{\mathrm{in}}\:\boldsymbol{\mathrm{A}}.\boldsymbol{\mathrm{P}}\:\::\: \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\beta\:−\:\gamma\:\:\:=\:\:\alpha\:−\:\beta \\ $$$$\pm\sqrt{{a}^{\mathrm{2}} −\:\mathrm{4}{b}\:}\:\:=\:\:\alpha\:−\:\frac{−{a}\:\pm\:\sqrt{{a}^{\mathrm{2}} −\:\mathrm{4}{b}\:}}{\mathrm{2}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\alpha\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\:\:\pm\sqrt{{a}^{\mathrm{2}} −\:\mathrm{4}{b}\:}\:\:+\:\:\frac{−{a}\:\pm\:\sqrt{{a}^{\mathrm{2}} −\:\mathrm{4}{b}\:}}{\mathrm{2}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\alpha\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\:\frac{\pm\mathrm{2}\sqrt{{a}^{\mathrm{2}} −\:\mathrm{4}{b}\:}\:\:−{a}\:\pm\:\sqrt{{a}^{\mathrm{2}} −\:\mathrm{4}{b}}}{\mathrm{2}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\alpha\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\:\frac{−{a}\:\pm\:\mathrm{3}\sqrt{{a}^{\mathrm{2}} −\:\mathrm{4}{b}}}{\mathrm{2}} \\ $$$$\boldsymbol{\mathrm{the}}\:\boldsymbol{\mathrm{roots}}\:\boldsymbol{\mathrm{of}}\:{y}^{\mathrm{2}} +\:{ay}\:+\:\left(\mathrm{9}{b}\:−\:\mathrm{2}{a}^{\mathrm{2}} \right)\:=\:\mathrm{0} \\ $$$${y}_{\mathrm{1}\:,\:\mathrm{2}} \:\:=\:\:\frac{−{a}\:\pm\:\sqrt{\:{a}^{\mathrm{2}} −\:\mathrm{4}\left(\mathrm{9}{b}\:−\:\mathrm{2}{a}^{\mathrm{2}} \right)\:}}{\mathrm{2}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\:\:\frac{−{a}\:\pm\:\sqrt{{a}^{\mathrm{2}} +\:\mathrm{8}{a}^{\mathrm{2}} \:−\:\mathrm{36}{b}\:}}{\mathrm{2}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\:\:\frac{−{a}\:\pm\:\sqrt{\mathrm{9}{a}^{\mathrm{2}} \:−\:\mathrm{36}{b}\:}}{\mathrm{2}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\:\:\frac{−{a}\:\pm\:\sqrt{\mathrm{9}\left({a}^{\mathrm{2}} \:−\:\mathrm{4}{b}\right)\:}}{\mathrm{2}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\:\:\frac{−{a}\:\pm\:\mathrm{3}\sqrt{\left({a}^{\mathrm{2}} \:−\:\mathrm{4}{b}\right)\:}}{\mathrm{2}} \\ $$$$\boldsymbol{\mathrm{we}}\:\boldsymbol{\mathrm{get}}\:\boldsymbol{\mathrm{same}}\:\boldsymbol{\mathrm{product}}\:\boldsymbol{\mathrm{for}}\:\boldsymbol{\alpha}\:\boldsymbol{\mathrm{and}}\:\boldsymbol{{y}}_{\mathrm{1},\mathrm{2}} \\ $$$$ \\ $$