Question Number 57770 by Tawa1 last updated on 11/Apr/19
Answered by Kunal12588 last updated on 11/Apr/19
$$\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{13}} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{{sin}\left(\frac{\pi}{\mathrm{4}}+\frac{\left({k}−\mathrm{1}\right)\pi}{\mathrm{6}}\right){sin}\left(\frac{\pi}{\mathrm{4}}+\frac{{k}\pi}{\mathrm{6}}\right)} \\ $$$${sin}\left(\frac{\pi}{\mathrm{4}}+\frac{\left({k}−\mathrm{1}\right)\pi}{\mathrm{6}}\right){sin}\left(\frac{\pi}{\mathrm{4}}+\frac{{k}\pi}{\mathrm{6}}\right) \\ $$$$={sin}\left(\frac{\mathrm{3}\pi+\mathrm{2}\left({k}−\mathrm{1}\right)\pi}{\mathrm{12}}\right){sin}\left(\frac{\mathrm{3}\pi+\mathrm{2}{k}\pi}{\mathrm{12}}\right) \\ $$$$={sin}\left(\frac{\left(\mathrm{2}{k}+\mathrm{1}\right)\pi}{\mathrm{12}}\right){sin}\left(\frac{\left(\mathrm{2}{k}+\mathrm{3}\right)\pi}{\mathrm{12}}\right) \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left\{{cos}\left(\frac{\left(\mathrm{2}{k}+\mathrm{3}\right)\pi−\left(\mathrm{2}{k}+\mathrm{1}\right)\pi}{\mathrm{12}}\right)−{cos}\left(\frac{\left(\mathrm{2}{k}+\mathrm{3}\right)\pi+\left(\mathrm{2}{k}+\mathrm{1}\right)\pi}{\mathrm{12}}\right)\right\} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left\{{cos}\left(\frac{\mathrm{2}\pi}{\mathrm{12}}\right)−{cos}\frac{\left(\mathrm{4}{k}+\mathrm{4}\right)\pi}{\mathrm{12}}\right\} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left\{{cos}\frac{\pi}{\mathrm{6}}−{cos}\frac{{k}+\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\pi\right\} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left\{\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}−{cos}\frac{{k}+\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\pi\right\} \\ $$$${k}=\mathrm{1},\mathrm{2},\mathrm{3},\mathrm{4},\mathrm{5},\mathrm{6},\mathrm{7},\mathrm{8},\mathrm{9},\mathrm{10},\mathrm{11},\mathrm{12},\mathrm{13} \\ $$$$\frac{{k}+\mathrm{1}}{\mathrm{3}}=\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}},\mathrm{1},\mathrm{1}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}},\mathrm{1}\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}},\mathrm{2},\mathrm{2}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}},\mathrm{2}\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}},\mathrm{3},\mathrm{3}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}},\mathrm{3}\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}},\mathrm{4},\mathrm{4}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}},\mathrm{4}\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}} \\ $$$${cos}\frac{{k}+\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\pi={c}_{\mathrm{120}°} ,{c}_{\mathrm{180}} ,{c}_{\mathrm{240}} ,{c}_{\mathrm{300}} ,{c}_{\mathrm{360}} ,{c}_{\mathrm{60}} ,{c}_{\mathrm{120}} ,… \\ $$$$=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}},−\mathrm{1},−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}},\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}},\mathrm{1},\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}},−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}},… \\ $$$$\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{13}} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{{sin}\left(\frac{\pi}{\mathrm{4}}+\frac{\left({k}−\mathrm{1}\right)\pi}{\mathrm{6}}\right){sin}\left(\frac{\pi}{\mathrm{4}}+\frac{{k}\pi}{\mathrm{6}}\right)} \\ $$$$=\mathrm{2}\left(\frac{\mathrm{4}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}+\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{4}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}+\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{4}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}+\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{4}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}−\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{4}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}−\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{4}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}−\mathrm{1}}\right)+\frac{\mathrm{4}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}+\mathrm{1}} \\ $$$$=\mathrm{8}\left(\frac{\sqrt{\mathrm{3}}−\mathrm{1}}{\mathrm{2}}+\frac{\sqrt{\mathrm{3}}−\mathrm{2}}{−\mathrm{1}}+\frac{\sqrt{\mathrm{3}}−\mathrm{1}}{\mathrm{2}}+\frac{\sqrt{\mathrm{3}}+\mathrm{1}}{\mathrm{2}}+\frac{\sqrt{\mathrm{3}}+\mathrm{2}}{−\mathrm{1}}+\frac{\sqrt{\mathrm{3}}+\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)+\frac{\mathrm{4}\left(\sqrt{\mathrm{3}}−\mathrm{1}\right)}{\mathrm{2}} \\ $$$$=\mathrm{4}\left(\sqrt{\mathrm{3}}−\mathrm{1}−\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{3}}+\mathrm{4}+\sqrt{\mathrm{3}}−\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{3}}+\mathrm{1}−\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{3}}−\mathrm{4}+\sqrt{\mathrm{3}}+\mathrm{1}\right)+\mathrm{2}\left(\sqrt{\mathrm{3}}−\mathrm{1}\right) \\ $$$$=\mathrm{4}\left(\mathrm{0}\right)+\mathrm{2}\left(\sqrt{\mathrm{3}}−\mathrm{1}\right) \\ $$$$=\mathrm{2}\left(\sqrt{\mathrm{3}}−\mathrm{1}\right) \\ $$$${Ans}:\:{C} \\ $$
Commented by Tawa1 last updated on 11/Apr/19
$$\mathrm{God}\:\mathrm{bless}\:\mathrm{you}\:\mathrm{sir}. \\ $$
Commented by abbas-alsadi last updated on 12/Apr/19
$$ \\ $$