Question Number 57955 by Sr@2004 last updated on 15/Apr/19
Commented by Sr@2004 last updated on 15/Apr/19
please solve 7,8
Answered by tanmay.chaudhury50@gmail.com last updated on 15/Apr/19
$$\left.\mathrm{8}\right){S}_{{r}} =\mathrm{1}+{r}+{r}^{\mathrm{2}} +{r}^{\mathrm{3}} +{r}^{\mathrm{4}} +…+{r}^{{n}−\mathrm{1}} \\ $$$$\left({r}−\mathrm{1}\right){S}_{{r}} =\left({r}−\mathrm{1}\right)\left[\mathrm{1}+{r}+{r}^{\mathrm{2}} +{r}^{\mathrm{3}} +…+{r}^{{n}−\mathrm{1}} \right] \\ $$$$\left({r}−\mathrm{1}\right){S}_{{r}} =\left({r}−\mathrm{1}\right)×\frac{{r}^{{n}} −\mathrm{1}}{{r}−\mathrm{1}} \\ $$$$\left({r}−\mathrm{1}\right){S}_{{r}} ={r}^{{n}} −\mathrm{1} \\ $$$${now}\:{value}\:{of}\left[\:{S}_{\mathrm{2}} +\mathrm{2}{S}_{\mathrm{3}} +\mathrm{3}{S}_{\mathrm{4}} +..+\left({n}−\mathrm{1}\right){S}_{{n}} \right] \\ $$$$=\underset{{r}=\mathrm{2}} {\overset{{n}} {\sum}}\left({r}−\mathrm{1}\right){S}_{{r}} \\ $$$$=\underset{{r}=\mathrm{2}} {\overset{{n}} {\sum}}{r}^{{n}} −\mathrm{1} \\ $$$$=\left(\mathrm{2}^{{n}} −\mathrm{1}\right)+\left(\mathrm{3}^{{n}} −\mathrm{1}\right)+\left(\mathrm{4}^{{n}} −\mathrm{1}\right)+…\left({n}^{{n}} −\mathrm{1}\right) \\ $$$$=\left(\mathrm{2}^{{n}} +\mathrm{3}^{{n}} +..+{n}^{{n}} \right)+\left(−\mathrm{1}\right)×\left({n}−\mathrm{1}\right) \\ $$$${now}\:{value}\:{of}\:{S}_{\mathrm{1}} =\mathrm{1}+\mathrm{1}+\mathrm{1}+\mathrm{1}…{upto}\:{ntimes} \\ $$$${S}_{\mathrm{1}} =\mathrm{1}×{n}={n} \\ $$$${S}_{\mathrm{1}} +\left({S}_{\mathrm{2}} +\mathrm{2}{S}_{\mathrm{3}} +\mathrm{3}{S}_{\mathrm{4}} +…+\left({n}−\mathrm{1}\right){S}_{{n}} \right) \\ $$$$={S}_{\mathrm{1}} +\left(\underset{{r}=\mathrm{2}} {\overset{{n}} {\sum}}\left({r}−\mathrm{1}\right){S}_{{r}} \right) \\ $$$$={S}_{\mathrm{1}} +\left(\mathrm{2}^{{n}} +\mathrm{3}^{{n}} +\mathrm{4}^{{n}} +…+{n}^{{n}} +\left(−\mathrm{1}\right)\left({n}−\mathrm{1}\right)\right. \\ $$$$={n}+\left(\mathrm{2}^{{n}} +\mathrm{3}^{{n}} +\mathrm{4}^{{n}} +..+{n}^{{n}} \right)−{n}+\mathrm{1} \\ $$$$=\mathrm{1}+\left(\mathrm{2}^{{n}} +\mathrm{3}^{{n}} +\mathrm{4}^{{n}} +…+{n}^{{n}} \right) \\ $$$$=\mathrm{1}^{{n}} +\mathrm{2}^{{n}} +\mathrm{3}^{{n}} +…+{n}^{{n}} \\ $$$$={proved} \\ $$$$ \\ $$
Commented by Sr@2004 last updated on 16/Apr/19
and 7?