Question Number 57959 by rahul 19 last updated on 15/Apr/19
Answered by MJS last updated on 16/Apr/19
$$\mathrm{3sin}^{−\mathrm{1}} \:{x}\:={y}\:\Rightarrow\:{x}=\mathrm{sin}\:\frac{{y}}{\mathrm{3}} \\ $$$$\mathrm{with}\:{x}\in\left[−\mathrm{1};\:\mathrm{1}\right]\:\wedge\:{y}\in\left[−\frac{\mathrm{3}\pi}{\mathrm{2}};\:\frac{\mathrm{3}\pi}{\mathrm{2}}\right] \\ $$$$\mathrm{3sin}^{−\mathrm{1}} \:{x}\:\mathrm{increases}\:\mathrm{for}\:−\mathrm{1}\leqslant{x}\leqslant\mathrm{1} \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{sin}^{−\mathrm{1}} \:\left(−\mathrm{4}{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{3}{x}\right)\:={y}\:\Rightarrow\:−\mathrm{4}{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{3}{x}=\mathrm{sin}\:{y} \\ $$$$\mathrm{with}\:\left(−\mathrm{4}{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{3}{x}\right)\in\left[−\mathrm{1};\:\mathrm{1}\right]\:\wedge\:{y}\in\left[−\frac{\pi}{\mathrm{2}};\:\frac{\pi}{\mathrm{2}}\right] \\ $$$$\left(−\mathrm{4}{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{3}{x}\right)\in\left[−\mathrm{1};\:\mathrm{1}\right]\:\Rightarrow\:{x}\in\left[−\mathrm{1};\:\mathrm{1}\right] \\ $$$$\mathrm{but}\:−\mathrm{4}{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{3}{x}\:\mathrm{has}\:\mathrm{a}\:\mathrm{minimum}\:\mathrm{at}\:\begin{pmatrix}{−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}\\{−\mathrm{1}}\end{pmatrix} \\ $$$$\mathrm{and}\:\mathrm{a}\:\mathrm{maximum}\:\mathrm{at}\:\begin{pmatrix}{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}\\{\mathrm{1}}\end{pmatrix}\:\Rightarrow \\ $$$$\Rightarrow\:\mathrm{sin}^{−\mathrm{1}} \:\left(−\mathrm{4}{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{3}{x}\right)\:\mathrm{decreases}\:\mathrm{for}\:−\mathrm{1}\leqslant{x}<−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{and}\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}<{x}\leqslant\mathrm{1}\:\mathrm{and}\:\mathrm{increases}\:\mathrm{for}\:−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}<{x}<\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}} \\ $$$$ \\ $$$$\Rightarrow\:\mathrm{answer}\:\mathrm{is}\:\left(\mathrm{a}\right) \\ $$
Commented by MJS last updated on 16/Apr/19
$$\mathrm{solving}\:−\mathrm{4}{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{3}{x}=\mathrm{sin}\:{y} \\ $$$${x}^{\mathrm{3}} −\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{4}}{x}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\mathrm{sin}\:{y}\:=\mathrm{0} \\ $$$${D}=\frac{{p}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{27}}+\frac{{q}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{4}}=\frac{\left(−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{4}}\right)^{\mathrm{3}} }{\mathrm{27}}+\frac{\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\mathrm{sin}\:{y}\right)^{\mathrm{2}} }{\mathrm{4}}=\frac{−\mathrm{1}+\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \:{y}}{\mathrm{64}}= \\ $$$$=−\frac{\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \:{y}}{\mathrm{64}}\:\leqslant\mathrm{0}\:\Rightarrow\:\mathrm{3}\:\mathrm{real}\:\mathrm{solutions}\:\Rightarrow\:\mathrm{we}\:\mathrm{need} \\ $$$$\mathrm{the}\:\mathrm{trigonometric}\:\mathrm{method},\:\mathrm{which}\:\mathrm{gives} \\ $$$${x}_{\mathrm{1}} =\mathrm{sin}\:\frac{{y}}{\mathrm{3}} \\ $$$${x}_{\mathrm{2}} =\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\sqrt{\mathrm{3}}\mathrm{cos}\:\frac{{y}}{\mathrm{3}}\:−\mathrm{sin}\:\frac{{y}}{\mathrm{3}}\right) \\ $$$${x}_{\mathrm{3}} =−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\sqrt{\mathrm{3}}\mathrm{cos}\:\frac{{y}}{\mathrm{3}}\:+\mathrm{sin}\:\frac{{y}}{\mathrm{3}}\right) \\ $$$$\Rightarrow\:\mathrm{3sin}^{−\mathrm{1}} \:{x}\:=\mathrm{sin}^{−\mathrm{1}} \:\left(−\mathrm{4}{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{3}{x}\right)\:\mathrm{in}\:\mathrm{certain}\:\mathrm{cases} \\ $$
Commented by rahul 19 last updated on 17/Apr/19
$${Thank}\:{you}\:{sir}. \\ $$
Commented by MJS last updated on 17/Apr/19
$$\mathrm{you}'\mathrm{re}\:\mathrm{welcome}.\:\mathrm{I}\:\mathrm{hope}\:\mathrm{my}\:\mathrm{answer}\:\mathrm{is}\:\mathrm{helpful} \\ $$$$\mathrm{I}'\mathrm{m}\:\mathrm{not}\:\mathrm{100\%}\:\mathrm{sure}\:\mathrm{if}\:\mathrm{this}\:\mathrm{is}\:\mathrm{a}\:\mathrm{legal}\:\mathrm{proof}… \\ $$