Question Number 59121 by naka3546 last updated on 05/May/19
Answered by mr W last updated on 05/May/19
$${cirvle}\:\mathrm{1}:\: \\ $$$${r}_{\mathrm{1}} =\mathrm{1} \\ $$$${a}_{\mathrm{1}} ={square}\:{side}\:{length} \\ $$$${a}_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{2}} +\left(\frac{{a}_{\mathrm{1}} }{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{2}} ={r}_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{2}} \\ $$$$\Rightarrow{a}_{\mathrm{1}} =\frac{\mathrm{2}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}{r}_{\mathrm{1}} =\frac{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{3}}{r}_{\mathrm{1}} \\ $$$${s}_{\mathrm{1}} ={length}\:{of}\:{red}\:{path} \\ $$$${s}_{\mathrm{1}} =\mathrm{3}{a}_{\mathrm{1}} +{r}_{\mathrm{1}} −\frac{{a}_{\mathrm{1}} }{\mathrm{2}}=\left(\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{3}}+\mathrm{1}−\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{3}}\right){r}_{\mathrm{1}} =\left(\frac{\mathrm{5}\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{3}}+\mathrm{1}\right){r}_{\mathrm{1}} ={kr}_{\mathrm{1}} \\ $$$${with}\:{k}=\frac{\mathrm{5}\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{3}}+\mathrm{1}\approx\mathrm{3}.\mathrm{887} \\ $$$${circle}\:\mathrm{2}: \\ $$$${r}_{\mathrm{2}} =\frac{{a}_{\mathrm{1}} }{\mathrm{2}}=\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{3}}{r}_{\mathrm{1}} \\ $$$${s}_{\mathrm{2}} ={kr}_{\mathrm{2}} =\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{3}}{kr}_{\mathrm{1}} ={qs}_{\mathrm{1}} \\ $$$${with}\:{q}=\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{3}}<\mathrm{1} \\ $$$${total}\:{length}\:{of}\:{red}\:{path}\:={S} \\ $$$${S}={s}_{\mathrm{1}} +{s}_{\mathrm{2}} +…+{s}_{{n}} +…\:\:\:\leftarrow{G}.{P}. \\ $$$$=\frac{{s}_{\mathrm{1}} }{\mathrm{1}−{q}}=\frac{{kr}_{\mathrm{1}} }{\mathrm{1}−\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{3}}}=\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{3}−\sqrt{\mathrm{3}}}×\frac{\mathrm{5}\sqrt{\mathrm{3}}+\mathrm{3}}{\mathrm{3}}×\mathrm{1} \\ $$$$=\frac{\left(\mathrm{5}\sqrt{\mathrm{3}}+\mathrm{3}\right)\left(\mathrm{3}+\sqrt{\mathrm{3}}\right)}{\mathrm{6}} \\ $$$$=\mathrm{4}+\mathrm{3}\sqrt{\mathrm{3}} \\ $$