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Question-59499

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Question Number 59499 by MathGuru last updated on 11/May/19
Commented by maxmathsup by imad last updated on 11/May/19
we have x^2 −3x =x(x−3) and 2x−6 =2(x−3) and x^2 −5x +6 =x^2 −9 −5x +15 =(x−3)(x+3) −5(x−3)=(x−3)(x−2) so (e) ⇔∣x∣∣x−3∣+2∣x−3∣ =∣x−3∣∣x−2∣ ⇔∣x−3∣( ∣x∣ +2−∣x−2∣)=0 ⇔ x=3 or ∣x∣−∣x−2∣ +2 =0 x −∞ 0 2 +∞ ∣x∣ −x 0 x x ∣x−2∣ −x+2 −x+2 x−2 f(x) 0 2x 4 if x≤0 all x is solution if 0≤x≤2 f(x)=0 ⇔2x=0 ⇔x=0 if x≥2 f(x)=0 ⇔4=0 impossible so the set of solution is]−∞,0]∪{3}
$${we}\:{have}\:{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3}{x}\:={x}\left({x}−\mathrm{3}\right)\:\:{and}\:\mathrm{2}{x}−\mathrm{6}\:=\mathrm{2}\left({x}−\mathrm{3}\right)\:\:{and} \\ $$$${x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{5}{x}\:+\mathrm{6}\:={x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{9}\:−\mathrm{5}{x}\:+\mathrm{15}\:=\left({x}−\mathrm{3}\right)\left({x}+\mathrm{3}\right)\:−\mathrm{5}\left({x}−\mathrm{3}\right)=\left({x}−\mathrm{3}\right)\left({x}−\mathrm{2}\right)\:{so} \\ $$$$\left({e}\right)\:\Leftrightarrow\mid{x}\mid\mid{x}−\mathrm{3}\mid+\mathrm{2}\mid{x}−\mathrm{3}\mid\:=\mid{x}−\mathrm{3}\mid\mid{x}−\mathrm{2}\mid\:\Leftrightarrow\mid{x}−\mathrm{3}\mid\left(\:\mid{x}\mid\:+\mathrm{2}−\mid{x}−\mathrm{2}\mid\right)=\mathrm{0}\:\Leftrightarrow \\ $$$${x}=\mathrm{3}\:{or}\:\:\:\mid{x}\mid−\mid{x}−\mathrm{2}\mid\:+\mathrm{2}\:=\mathrm{0} \\ $$$${x}\:\:\:\:\:\:\:−\infty\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{0}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{2}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:+\infty \\ $$$$\mid{x}\mid\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:−{x}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{0}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:{x}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:{x} \\ $$$$\mid{x}−\mathrm{2}\mid\:\:\:\:\:\:\:\:\:−{x}+\mathrm{2}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:−{x}+\mathrm{2}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:{x}−\mathrm{2} \\ $$$${f}\left({x}\right)\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{0}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{2}{x}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{4} \\ $$$${if}\:{x}\leqslant\mathrm{0}\:\:\:\:{all}\:{x}\:{is}\:{solution} \\ $$$${if}\:\:\:\mathrm{0}\leqslant{x}\leqslant\mathrm{2}\:\:\:\:\:\:{f}\left({x}\right)=\mathrm{0}\:\Leftrightarrow\mathrm{2}{x}=\mathrm{0}\:\Leftrightarrow{x}=\mathrm{0} \\ $$$$\left.{i}\left.{f}\:{x}\geqslant\mathrm{2}\:\:\:{f}\left({x}\right)=\mathrm{0}\:\Leftrightarrow\mathrm{4}=\mathrm{0}\:\:{impossible}\:\:{so}\:\:{the}\:{set}\:{of}\:{solution}\:{is}\right]−\infty,\mathrm{0}\right]\cup\left\{\mathrm{3}\right\} \\ $$
Commented by maxmathsup by imad last updated on 11/May/19
f(x)=∣x∣−∣x−2∣+2
$${f}\left({x}\right)=\mid{x}\mid−\mid{x}−\mathrm{2}\mid+\mathrm{2} \\ $$
Commented by MathGuru last updated on 11/May/19
We may solve in a different mehod: ∣x^2 −3x∣+∣2x−6∣ = ∣x^2 −5x+6∣ ⇒∣x^2 −3x∣+∣6−2x∣ = ∣(x^2 −3x)+(6−2x)∣ ⇒(x^2 −3x)(6−2x)≥0 ⇒x(x−3)2(3−x)≥0 ⇒2x(x−3)^2 ≤0 ⇒x≤0 or x=3
$$\mathrm{We}\:\mathrm{may}\:\mathrm{solve}\:\mathrm{in}\:\mathrm{a}\:\mathrm{different}\:\mathrm{mehod}: \\ $$$$\:\:\:\:\:\mid\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3x}\mid+\mid\mathrm{2x}−\mathrm{6}\mid\:=\:\mid\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{5x}+\mathrm{6}\mid \\ $$$$\Rightarrow\mid\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3x}\mid+\mid\mathrm{6}−\mathrm{2x}\mid\:=\:\mid\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3x}\right)+\left(\mathrm{6}−\mathrm{2x}\right)\mid \\ $$$$\Rightarrow\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3x}\right)\left(\mathrm{6}−\mathrm{2x}\right)\geqslant\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{x}\left(\mathrm{x}−\mathrm{3}\right)\mathrm{2}\left(\mathrm{3}−\mathrm{x}\right)\geqslant\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{2x}\left(\mathrm{x}−\mathrm{3}\right)^{\mathrm{2}} \leqslant\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{x}\leqslant\mathrm{0}\:\:\mathrm{or}\:\:\mathrm{x}=\mathrm{3} \\ $$$$ \\ $$
Answered by tanmay last updated on 11/May/19
∣x(x−3)∣+∣2(x−3)∣=∣(x−2)(x−3)∣ critical value of x=0,2,3 when x≥3 x(x−3)+2(x−3)=(x−2)(x−3) x^2 −3x+2x−6=x^2 −5x+6 4x=12 x=3....look here when x<0 x(x−3)−2(x−3)=(x−2)(x−3) x^2 −3x−2x+6=x^2 −5x+6 it become identity....look here when 3>x>2 −x(x−3)−2(x−3)=−(x−2)(x−3) −x^2 +3x−2x+6=−x^2 +5x−6 −4x=−12 x=3 but this value do not conform to 3>x>2 when 2>x>0 −x(x−3)−2(x−3)=(x−2)(x−3) −x^2 +3x−2x+6=x^2 −5x+6 −2x^2 +6x=0 −2x(x−3)=0 x=0 and x=3 but x=0 and x=3 do not conform to condition 2>x>0 so x=3 is the only solution pls check
$$\mid{x}\left({x}−\mathrm{3}\right)\mid+\mid\mathrm{2}\left({x}−\mathrm{3}\right)\mid=\mid\left({x}−\mathrm{2}\right)\left({x}−\mathrm{3}\right)\mid \\ $$$$ \\ $$$${critical}\:{value}\:{of}\:{x}=\mathrm{0},\mathrm{2},\mathrm{3} \\ $$$${when}\:{x}\geqslant\mathrm{3} \\ $$$${x}\left({x}−\mathrm{3}\right)+\mathrm{2}\left({x}−\mathrm{3}\right)=\left({x}−\mathrm{2}\right)\left({x}−\mathrm{3}\right) \\ $$$${x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3}{x}+\mathrm{2}{x}−\mathrm{6}={x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{5}{x}+\mathrm{6} \\ $$$$\mathrm{4}{x}=\mathrm{12}\:\:{x}=\mathrm{3}….{look}\:{here} \\ $$$${when}\:{x}<\mathrm{0} \\ $$$${x}\left({x}−\mathrm{3}\right)−\mathrm{2}\left({x}−\mathrm{3}\right)=\left({x}−\mathrm{2}\right)\left({x}−\mathrm{3}\right) \\ $$$${x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3}{x}−\mathrm{2}{x}+\mathrm{6}={x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{5}{x}+\mathrm{6} \\ $$$${it}\:{become}\:{identity}….{look}\:{here} \\ $$$${when}\:\mathrm{3}>{x}>\mathrm{2} \\ $$$$−{x}\left({x}−\mathrm{3}\right)−\mathrm{2}\left({x}−\mathrm{3}\right)=−\left({x}−\mathrm{2}\right)\left({x}−\mathrm{3}\right) \\ $$$$−{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}{x}−\mathrm{2}{x}+\mathrm{6}=−{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{5}{x}−\mathrm{6} \\ $$$$−\mathrm{4}{x}=−\mathrm{12} \\ $$$${x}=\mathrm{3}\:{but}\:{this}\:{value}\:{do}\:{not}\:{conform}\:{to}\:\mathrm{3}>{x}>\mathrm{2} \\ $$$${when}\:\mathrm{2}>{x}>\mathrm{0} \\ $$$$−{x}\left({x}−\mathrm{3}\right)−\mathrm{2}\left({x}−\mathrm{3}\right)=\left({x}−\mathrm{2}\right)\left({x}−\mathrm{3}\right) \\ $$$$−{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}{x}−\mathrm{2}{x}+\mathrm{6}={x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{5}{x}+\mathrm{6} \\ $$$$−\mathrm{2}{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{6}{x}=\mathrm{0} \\ $$$$−\mathrm{2}{x}\left({x}−\mathrm{3}\right)=\mathrm{0} \\ $$$${x}=\mathrm{0}\:{and}\:{x}=\mathrm{3} \\ $$$${but}\:{x}=\mathrm{0}\:{and}\:{x}=\mathrm{3}\:{do}\:{not}\:{conform}\:{to} \\ $$$${condition}\:\mathrm{2}>{x}>\mathrm{0} \\ $$$$\boldsymbol{{so}}\:\boldsymbol{{x}}=\mathrm{3}\:\boldsymbol{{is}}\:\boldsymbol{{the}}\:\boldsymbol{{only}}\:\boldsymbol{{solution}}\: \\ $$$$\boldsymbol{{pls}}\:\boldsymbol{{check}} \\ $$$$ \\ $$

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