Question Number 59599 by tanmay last updated on 12/May/19
Answered by tanmay last updated on 12/May/19
$${T}_{{r}} =\frac{{tan}\frac{{x}}{\mathrm{2}^{{r}+\mathrm{1}} }\left(\mathrm{1}+{tan}^{\mathrm{2}} \frac{{x}}{\mathrm{2}^{{r}+\mathrm{1}} }\right)}{\mathrm{1}−{tan}^{\mathrm{2}} \frac{{x}}{\mathrm{2}^{{r}+\mathrm{1}} }} \\ $$$${T}_{{r}} =\frac{{tan}\frac{{x}}{\mathrm{2}^{{r}+\mathrm{1}} }}{{cos}\mathrm{2}×\frac{{x}}{\mathrm{2}^{{r}+\mathrm{1}} }} \\ $$$$=\frac{{tan}\frac{{x}}{\mathrm{2}^{{r}+\mathrm{1}} }}{{cos}\frac{{x}}{\mathrm{2}^{{r}} }} \\ $$$${f}\left({x}\right)=\underset{{n}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\left(\frac{{tan}\frac{{x}}{\mathrm{2}}}{{cos}\frac{{x}}{\mathrm{2}^{\mathrm{0}} }}+\frac{{tan}\frac{{x}}{\mathrm{2}^{\mathrm{2}} }}{{cos}\frac{{x}}{\mathrm{2}}}+\frac{{tan}\frac{{x}}{\mathrm{2}^{\mathrm{3}} }}{{cos}\frac{{x}}{\mathrm{2}^{\mathrm{2}} }}+..+\frac{{tan}\frac{{x}}{\mathrm{2}^{{n}+\mathrm{1}} }}{{cos}\frac{{x}}{\mathrm{2}^{{n}} }}\right) \\ $$$$\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\frac{{f}\left({x}\right)}{{x}} \\ $$$$\underset{{n}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\left(\frac{{tan}\frac{{x}}{\mathrm{2}}}{\frac{{x}}{\mathrm{2}}×\mathrm{2}×{cos}\frac{{x}}{\mathrm{2}^{\mathrm{0}} }}+\frac{{tan}\frac{{x}}{\mathrm{2}^{\mathrm{2}} }}{\frac{{x}}{\mathrm{2}^{\mathrm{2}} }×\mathrm{2}^{\mathrm{2}} ×{cos}\frac{{x}}{\mathrm{2}}}+…+\frac{{tan}\frac{{x}}{\mathrm{2}^{{n}+\mathrm{1}} }}{\frac{{x}}{\mathrm{2}^{{n}+\mathrm{1}} }×\mathrm{2}^{{n}+\mathrm{1}} ×{cos}\frac{{x}}{\mathrm{2}^{{n}} }}\right) \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{\mathrm{2}} }+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{\mathrm{3}} }+..\infty\:\:\:\left({gp}\:{series}\right) \\ $$$$=\frac{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}{\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}=\mathrm{1} \\ $$