Question Number 60054 by bhanukumarb2@gmail.com last updated on 17/May/19
Commented by bhanukumarb2@gmail.com last updated on 17/May/19
$${is}\:{titu}\:{lemma}\:{applicable}\:{here}??{plz}\:{see} \\ $$$${previous}\:{doubts} \\ $$
Answered by tanmay last updated on 17/May/19
$$\mathrm{8}{x}^{\mathrm{3}} −\mathrm{4}{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4}{x}+\mathrm{1}=\mathrm{0} \\ $$$${roots}\:{are}\:{cos}\left(\frac{\pi}{\mathrm{7}}\right),{cos}\left(\frac{\mathrm{3}\pi}{\mathrm{7}}\right),{cos}\left(\frac{\mathrm{5}\pi}{\mathrm{7}}\right) \\ $$$${now}\:{cos}\left(\frac{\mathrm{5}\pi}{\mathrm{7}}\right)={cos}\left(\frac{\mathrm{7}\pi−\mathrm{2}\pi}{\mathrm{7}}\right)={cos}\left(\pi−\frac{\mathrm{2}\pi}{\mathrm{7}}\right)=−{cos}\left(\frac{\mathrm{2}\pi}{\mathrm{7}}\right) \\ $$$${let}\:{c}_{\mathrm{1}} ={cos}\left(\frac{\pi}{\mathrm{7}}\right)\:\:\:{so}\:{s}_{\mathrm{1}} ={sin}\left(\frac{\pi}{\mathrm{7}}\right) \\ $$$${c}_{\mathrm{2}} ={cos}\left(\frac{\mathrm{2}\pi}{\mathrm{7}}\right)\:\:\:{s}_{\mathrm{2}} ={sin}\left(\frac{\mathrm{2}\pi}{\mathrm{7}}\right) \\ $$$${c}_{\mathrm{3}} ={cos}\left(\frac{\mathrm{3}\pi}{\mathrm{7}}\right)\:\:\:\:{s}_{\mathrm{3}} =\left(\frac{\mathrm{3}\pi}{\mathrm{7}}\right) \\ $$$$\bigstar\bigstar{c}_{\mathrm{5}} ={cos}\left(\frac{\mathrm{5}\pi}{\mathrm{7}}\right)=−{cos}\left(\frac{\mathrm{2}\pi}{\mathrm{7}}\right)=−{c}_{\mathrm{2}} \bigstar\bigstar \\ $$$${our}\:{task}\:{to}\:{find}\:{value}\:{of} \\ $$$$\frac{{s}_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{2}} }{{s}_{\mathrm{2}} ^{\mathrm{4}} }+\frac{{s}_{\mathrm{3}} ^{\mathrm{2}} }{{s}_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{4}} }+\frac{{s}_{\mathrm{2}} ^{\mathrm{2}} }{{s}_{\mathrm{3}} ^{\mathrm{4}} } \\ $$$$\mathrm{8}{x}^{\mathrm{3}} −\mathrm{4}{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4}{x}+\mathrm{1}=\mathrm{0} \\ $$$${roots}\:{are}\:{c}_{\mathrm{1}} ,{c}_{\mathrm{3}} ,{c}_{\mathrm{5}} \:\:\:\left[{note}\:{c}_{\mathrm{5}} =−{c}_{\mathrm{2}} \right] \\ $$$${c}_{\mathrm{1}} +{c}_{\mathrm{3}} +{c}_{\mathrm{5}} =\frac{−\left(−\mathrm{4}\right)}{\mathrm{8}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}} \\ $$$${c}_{\mathrm{1}} −{c}_{\mathrm{2}} +{c}_{\mathrm{3}} =\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}} \\ $$$${c}_{\mathrm{1}} {c}_{\mathrm{3}} +{c}_{\mathrm{1}} {c}_{\mathrm{5}} +{c}_{\mathrm{3}} {c}_{\mathrm{5}} =\frac{−\mathrm{4}}{\mathrm{8}} \\ $$$${c}_{\mathrm{1}} {c}_{\mathrm{3}} +{c}_{\mathrm{1}} \left(−{c}_{\mathrm{2}} \right)+{c}_{\mathrm{3}} \left(−{c}_{\mathrm{2}} \right)=\frac{−\mathrm{4}}{\mathrm{8}} \\ $$$${c}_{\mathrm{1}} {c}_{\mathrm{3}} −{c}_{\mathrm{1}} {c}_{\mathrm{2}} −{c}_{\mathrm{3}} {c}_{\mathrm{2}} =\frac{−\mathrm{1}}{\mathrm{2}} \\ $$$${c}_{\mathrm{1}} {c}_{\mathrm{3}} {c}_{\mathrm{5}} =\frac{−\mathrm{1}}{\mathrm{8}} \\ $$$${c}_{\mathrm{1}} ×{c}_{\mathrm{3}} ×−{c}_{\mathrm{2}} =\frac{−\mathrm{1}}{\mathrm{8}} \\ $$$${c}_{\mathrm{1}} {c}_{\mathrm{2}} {c}_{\mathrm{3}} =\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}} \\ $$$$\frac{{s}_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{2}} }{{s}_{\mathrm{2}} ^{\mathrm{4}} }+\frac{{s}_{\mathrm{3}} ^{\mathrm{2}} }{{s}_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{4}} }+\frac{{s}_{\mathrm{2}} ^{\mathrm{2}} }{{s}_{\mathrm{3}} ^{\mathrm{4}} }=\frac{{s}_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{2}} \left({s}_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{4}} {s}_{\mathrm{3}} ^{\mathrm{4}} \right)+{s}_{\mathrm{3}} ^{\mathrm{2}} \left({s}_{\mathrm{2}} ^{\mathrm{4}} {s}_{\mathrm{3}} ^{\mathrm{4}} \right)+{s}_{\mathrm{2}} ^{\mathrm{2}} \left({s}_{\mathrm{2}} ^{\mathrm{4}} {s}_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{4}} \right)}{\left({s}_{\mathrm{1}} {s}_{\mathrm{2}} {s}_{\mathrm{3}} \right)^{\mathrm{4}} } \\ $$$$=\frac{{s}_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{6}} {s}_{\mathrm{3}} ^{\mathrm{4}} +{s}_{\mathrm{3}} ^{\mathrm{6}} {s}_{\mathrm{2}} ^{\mathrm{4}} +{s}_{\mathrm{2}} ^{\mathrm{6}} {s}_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{4}{i}} }{\left({s}_{\mathrm{1}} {s}_{\mathrm{2}} {s}_{\mathrm{3}} \right)^{\mathrm{4}} } \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{8}{c}^{\mathrm{3}} −\mathrm{4}{c}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4}{c}+\mathrm{1}=\mathrm{0} \\ $$$${c}^{\mathrm{2}} +{s}^{\mathrm{2}} =\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{8}\left(\mathrm{1}−{s}^{\mathrm{2}} \right)\sqrt{\mathrm{1}−{s}^{\mathrm{2}} }\:−\mathrm{4}\left(\mathrm{1}−{s}^{\mathrm{2}} \right)−\mathrm{4}\left(\sqrt{\mathrm{1}−{s}^{\mathrm{2}} }\right)+\mathrm{1}=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{4}×\sqrt{\mathrm{1}−{s}^{\mathrm{2}} }\:\left(\mathrm{2}−\mathrm{2}{s}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)=\mathrm{4}\left(\mathrm{1}−{s}^{\mathrm{2}} \right)−\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{4}×\sqrt{\mathrm{1}−{s}^{\mathrm{2}} }\:\left(\mathrm{1}−\mathrm{2}{s}^{\mathrm{2}} \right)=\left(\mathrm{3}−\mathrm{4}{s}^{\mathrm{2}} \right) \\ $$$$\mathrm{16}\left(\mathrm{1}−{s}^{\mathrm{2}} \right)\left(\mathrm{1}−\mathrm{4}{s}^{\mathrm{2}} +\mathrm{4}{s}^{\mathrm{4}} \right)=\mathrm{9}−\mathrm{24}{s}^{\mathrm{2}} +\mathrm{16}{s}^{\mathrm{4}} \\ $$$$\mathrm{16}\left(\mathrm{1}−\mathrm{4}{s}^{\mathrm{2}} +\mathrm{4}{s}^{\mathrm{4}} −{s}^{\mathrm{2}} +\mathrm{4}{s}^{\mathrm{4}} −\mathrm{4}{s}^{\mathrm{6}} \right)=\mathrm{9}−\mathrm{24}{s}^{\mathrm{2}} +\mathrm{16}{s}^{\mathrm{4}} \\ $$$$−\mathrm{64}{s}^{\mathrm{6}} +\mathrm{128}{s}^{\mathrm{4}} −\mathrm{80}{s}^{\mathrm{2}} +\mathrm{16}−\mathrm{16}{s}^{\mathrm{4}} +\mathrm{24}{s}^{\mathrm{2}} −\mathrm{9}=\mathrm{0} \\ $$$$−\mathrm{64}{s}^{\mathrm{6}} +\mathrm{112}{s}^{\mathrm{4}} −\mathrm{53}{s}^{\mathrm{2}} +\mathrm{7}=\mathrm{0} \\ $$$${if}\:{s}^{\mathrm{2}} ={t} \\ $$$$−\mathrm{64}{t}^{\mathrm{3}} +\mathrm{112}{t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{53}{t}+\mathrm{7}=\mathrm{0} \\ $$$${s}_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{2}} +{s}_{\mathrm{2}} ^{\mathrm{2}} +{s}_{\mathrm{3}} ^{\mathrm{2}} =\frac{\mathrm{112}}{\mathrm{64}} \\ $$$${s}_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{2}} {s}_{\mathrm{2}} ^{\mathrm{2}} +{s}_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{2}} {s}_{\mathrm{3}} ^{\mathrm{2}} +{s}_{\mathrm{2}} ^{\mathrm{2}} {s}_{\mathrm{3}} ^{\mathrm{2}} =\frac{\mathrm{53}}{\mathrm{64}} \\ $$$${s}_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{2}} {s}_{\mathrm{2}} ^{\mathrm{2}} {s}_{\mathrm{3}} ^{\mathrm{2}} =\frac{\mathrm{7}}{\mathrm{64}} \\ $$$${wait}\:{i}\:{am}\:{trying}… \\ $$
Commented by bhanukumarb2@gmail.com last updated on 17/May/19
$${thanku}\:{sir}\:{i}\:{will}\:{do}\:{next}\:{part}\:{thanku} \\ $$
Commented by otchereabdullai@gmail.com last updated on 17/May/19
$$\mathrm{Brilliant}\:\mathrm{prof}\:\mathrm{Tanmay} \\ $$