Question Number 63763 by aliesam last updated on 08/Jul/19
Commented by Prithwish sen last updated on 08/Jul/19
$$\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{1}+\mathrm{cos}\left(\mathrm{2x}\right)\:+\:\mathrm{i}\:\mathrm{sin}\left(\mathrm{2x}\right)}\:=\:\frac{\mathrm{2}\left\{\mathrm{1}+\mathrm{cos}\left(\mathrm{2x}\right)\:−\:\mathrm{isin}\left(\mathrm{2x}\right)\right\}}{\mathrm{1}+\mathrm{2cos}\left(\mathrm{2x}\right)+\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{2x}\right)\:+\:\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{2x}\right)} \\ $$$$=\:\frac{\mathrm{1}+\mathrm{cos}\left(\mathrm{2x}\right)\:−\:\mathrm{isin}\left(\mathrm{2x}\right)}{\mathrm{1}+\:\mathrm{cos}\left(\mathrm{2x}\right)}\:=\:\mathrm{1}\:−\:\mathrm{i}\frac{\mathrm{2sinx}.\mathrm{cosx}}{\mathrm{2cos}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}} \\ $$$$=\:\mathrm{1}\:−\mathrm{itanx}\:\mathrm{Hence}\:\mathrm{proved}. \\ $$