Question Number 65347 by Masumsiddiqui399@gmail.com last updated on 28/Jul/19
Answered by MJS last updated on 28/Jul/19
$$\mathrm{squaring}\:\left(\Rightarrow\:\mathrm{beware}\:\mathrm{of}\:\mathrm{false}\:\mathrm{solutions}!\right) \\ $$$$\Rightarrow \\ $$$$\left({x}^{\mathrm{2}} +{x}−\mathrm{1}\right)\left({x}^{\mathrm{3}} +{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}{x}−\mathrm{1}\right)=\mathrm{0} \\ $$$${x}^{\mathrm{2}} +{x}−\mathrm{1}=\mathrm{0}\:\Rightarrow\:{x}=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\pm\frac{\sqrt{\mathrm{5}}}{\mathrm{2}} \\ $$$${x}^{\mathrm{3}} +{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}{x}−\mathrm{1}=\mathrm{0} \\ $$$${x}={z}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}} \\ $$$${z}^{\mathrm{3}} −\frac{\mathrm{7}}{\mathrm{3}}{z}−\frac{\mathrm{7}}{\mathrm{27}}=\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow \\ $$$${z}_{\mathrm{1}} =−\frac{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{7}}}{\mathrm{3}}\mathrm{sin}\:\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\mathrm{arcsin}\:\frac{\sqrt{\mathrm{7}}}{\mathrm{14}}\right) \\ $$$${z}_{\mathrm{2}} =\frac{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{7}}}{\mathrm{3}}\mathrm{sin}\:\left(\frac{\pi}{\mathrm{3}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\mathrm{arcsin}\:\frac{\sqrt{\mathrm{7}}}{\mathrm{14}}\right) \\ $$$${z}_{\mathrm{3}} =−\frac{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{7}}}{\mathrm{3}}\mathrm{cos}\:\left(\frac{\pi}{\mathrm{6}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\mathrm{arcsin}\:\frac{\sqrt{\mathrm{7}}}{\mathrm{14}}\right) \\ $$$$\Rightarrow\:{x}_{{i}} =−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}+{z}_{{i}} \\ $$$$\mathrm{testing}\:\mathrm{all}\:\mathrm{these}\:\mathrm{with}\:\mathrm{the}\:\mathrm{original}\:\mathrm{equation} \\ $$$$\Rightarrow \\ $$$${x}_{\mathrm{1}} =−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}−\frac{\sqrt{\mathrm{5}}}{\mathrm{2}}\:\approx−\mathrm{1}.\mathrm{61803} \\ $$$${x}_{\mathrm{2}} =−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}+\frac{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{7}}}{\mathrm{3}}\mathrm{sin}\:\left(\frac{\pi}{\mathrm{3}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\mathrm{arcsin}\:\frac{\sqrt{\mathrm{7}}}{\mathrm{14}}\right)\:\approx\mathrm{1}.\mathrm{24698} \\ $$$${x}_{\mathrm{3}} =−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}−\frac{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{7}}}{\mathrm{3}}\mathrm{cos}\:\left(\frac{\pi}{\mathrm{6}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\mathrm{arcsin}\:\frac{\sqrt{\mathrm{7}}}{\mathrm{14}}\right)\:\approx−\mathrm{1}.\mathrm{80194} \\ $$