Question-65486

Question Number 65486 by aliesam last updated on 30/Jul/19

Answered by MJS last updated on 31/Jul/19

∫arctan (1/(x^2 −x+1)) dx= u′=1 → u=x v=arctan (1/(x^2 −x+1)) → v′=−((2x−1)/((x^2 +1)(x^2 −2x+2))) =xarctan (1/(x^2 −x+1)) +∫((x(2x−1))/((x^2 +1)(x^2 −2x+2)))dx= ∫((x(2x−1))/((x^2 +1)(x^2 −2x+2)))dx= =∫(x/(x^2 −2x+2))dx−∫(x/(x^2 +1))dx= =(1/2)∫((2x−2)/(x^2 −2x+2))dx+∫(dx/((x−1)^2 +1))−(1/2)∫((2x)/(x^2 +1))dx= =(1/2)ln (x^2 −2x+2) +arctan (x−1) −(1/2)ln (x^2 +1) = =(1/2)ln ((x^2 −2x+2)/(x^2 +1)) +arctan (x−1) =(1/2)ln ((x^2 −2x+2)/(x^2 +1)) +xarctan (1/(x^2 −x+1)) +arctan (x−1) +C ⇒ ∫_0 ^1 arctan (1/(x^2 −x+1)) dx=(π/2)−ln 2

$$\int\mathrm{arctan}\:\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{2}} −{x}+\mathrm{1}}\:{dx}= \\ $$$$\:\:\:\:\:{u}'=\mathrm{1}\:\rightarrow\:{u}={x} \\ $$$$\:\:\:\:\:{v}=\mathrm{arctan}\:\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{2}} −{x}+\mathrm{1}}\:\rightarrow\:{v}'=−\frac{\mathrm{2}{x}−\mathrm{1}}{\left({x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)\left({x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}{x}+\mathrm{2}\right)} \\ $$$$={x}\mathrm{arctan}\:\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{2}} −{x}+\mathrm{1}}\:+\int\frac{{x}\left(\mathrm{2}{x}−\mathrm{1}\right)}{\left({x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)\left({x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}{x}+\mathrm{2}\right)}{dx}= \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\int\frac{{x}\left(\mathrm{2}{x}−\mathrm{1}\right)}{\left({x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)\left({x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}{x}+\mathrm{2}\right)}{dx}= \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\int\frac{{x}}{{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}{x}+\mathrm{2}}{dx}−\int\frac{{x}}{{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}{dx}= \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int\frac{\mathrm{2}{x}−\mathrm{2}}{{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}{x}+\mathrm{2}}{dx}+\int\frac{{dx}}{\left({x}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int\frac{\mathrm{2}{x}}{{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}{dx}= \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{ln}\:\left({x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}{x}+\mathrm{2}\right)\:+\mathrm{arctan}\:\left({x}−\mathrm{1}\right)\:−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{ln}\:\left({x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)\:= \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{ln}\:\frac{{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}{x}+\mathrm{2}}{{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}\:+\mathrm{arctan}\:\left({x}−\mathrm{1}\right) \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{ln}\:\frac{{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}{x}+\mathrm{2}}{{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}\:+{x}\mathrm{arctan}\:\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{2}} −{x}+\mathrm{1}}\:+\mathrm{arctan}\:\left({x}−\mathrm{1}\right)\:+{C} \\ $$$$\Rightarrow\:\underset{\mathrm{0}} {\overset{\mathrm{1}} {\int}}\mathrm{arctan}\:\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{2}} −{x}+\mathrm{1}}\:{dx}=\frac{\pi}{\mathrm{2}}−\mathrm{ln}\:\mathrm{2} \\ $$

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