Question Number 80362 by Power last updated on 02/Feb/20
Answered by key of knowledge last updated on 02/Feb/20
$$\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}+\mathrm{2}+…+\mathrm{i}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}+\mathrm{2}+…+\mathrm{i}+\left(\mathrm{i}+\mathrm{1}\right)}=\frac{\left(\mathrm{1}+…+\mathrm{i}+\left(\mathrm{i}+\mathrm{1}\right)\right)−\left(\mathrm{1}+…+\mathrm{i}\right)}{\left(\mathrm{1}+\mathrm{2}+…+\mathrm{i}\right)\left(\mathrm{1}+\mathrm{2}+…+\mathrm{i}+\left(\mathrm{i}+\mathrm{1}\right)\right)}= \\ $$$$\frac{\left(\mathrm{i}+\mathrm{1}\right)}{\left(\mathrm{1}+\mathrm{2}+…+\mathrm{i}\right)\left(\mathrm{1}+\mathrm{2}+…+\mathrm{i}+\left(\mathrm{i}+\mathrm{1}\right)\right)} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{1}−\left[\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}+\mathrm{2}}\right)+\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}+\mathrm{2}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}+\mathrm{2}+\mathrm{3}}\right)+…+\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}+…+\mathrm{99}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}+…+\mathrm{100}}\right)\right]= \\ $$$$\mathrm{1}−\left[\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}+…+\mathrm{100}}\right]=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{5050}} \\ $$