Question Number 82726 by mr W last updated on 23/Feb/20
Commented by mr W last updated on 23/Feb/20
$${mass}\:{m}_{\mathrm{1}} \:{and}\:{m}_{\mathrm{2}} \:{are}\:{released}\:{from}\:{the} \\ $$$${top}\:{of}\:{a}\:{wedge}\:{simutaneously}.\:{assume} \\ $$$${that}\:{mass}\:{m}_{\mathrm{1}} \:{reaches}\:{the}\:{bottum}\:{of} \\ $$$${the}\:{wedge}\:{firstly}.\:{find}\:{the}\:{velocity}\:{of} \\ $$$${the}\:{wedge}\:{at}\:{this}\:{moment}. \\ $$$${all}\:{surfaces}\:{are}\:{frictionless}. \\ $$
Commented by TawaTawa last updated on 23/Feb/20
$$\mathrm{Sir}\:\mathrm{please}\:\mathrm{i}\:\mathrm{need}\:\mathrm{help},\:\mathrm{i}\:\mathrm{have}\:\mathrm{post}\:\mathrm{the}\:\mathrm{question}\:\mathrm{several}\:\mathrm{time}. \\ $$$$\mathrm{i}\:\mathrm{repost}\:\mathrm{now}\:\:\mathrm{Q82729}.\:\:\mathrm{Or}\:\mathrm{the}\:\mathrm{question}\:\mathrm{is}\:\mathrm{not}\:\mathrm{correct}\:\mathrm{so}\:\mathrm{that}\:\mathrm{i}\:\mathrm{can}\:\mathrm{stop} \\ $$$$\mathrm{posting}\:\mathrm{it}.\:\mathrm{Please}\:\mathrm{help}.\:\mathrm{Thanks}\:\mathrm{sir}.\: \\ $$
Commented by ajfour last updated on 23/Feb/20
Commented by TawaTawa last updated on 23/Feb/20
$$\mathrm{Sir},\:\mathrm{i}\:\mathrm{have}\:\mathrm{typed}\:\mathrm{the}\:\mathrm{question}.\:\mathrm{please}\:\mathrm{check}.\:\mathrm{God}\:\mathrm{bless}\:\mathrm{you}\:\mathrm{sir}. \\ $$$$\mathrm{Q82729}. \\ $$
Commented by ajfour last updated on 23/Feb/20
Commented by ajfour last updated on 23/Feb/20
$$\mathrm{a}_{\mathrm{1}} =\mathrm{gsin}\:\theta_{\mathrm{1}} −\mathrm{Acos}\:\theta_{\mathrm{1}} \\ $$$$\mathrm{a}_{\mathrm{2}} =\mathrm{gsin}\:\theta_{\mathrm{2}} +\mathrm{Acos}\:\theta_{\mathrm{2}} \\ $$$$\frac{\mathrm{h}}{\mathrm{sin}\:\theta_{\mathrm{1}} }=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\mathrm{gsin}\:\theta_{\mathrm{1}} −\mathrm{Acos}\:\theta_{\mathrm{1}} \right)\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \\ $$$$\Rightarrow\:\frac{\mathrm{2h}}{\mathrm{sin}\:\theta_{\mathrm{1}} }=\mathrm{gt}^{\mathrm{2}} \mathrm{sin}\:\theta_{\mathrm{1}} −\mathrm{Vtcos}\:\theta_{\mathrm{1}} \:\:..\left(\mathrm{i}\right) \\ $$$$\left[\:\mathrm{from}\:\mathrm{above}\:\mathrm{eq}.\:\mathrm{we}\:\mathrm{get}\:\mathrm{t}\left(\mathrm{V}\right)\right] \\ $$$$\mathrm{u}=\left(\mathrm{gsin}\:\theta_{\mathrm{1}} −\mathrm{Acos}\:\theta_{\mathrm{1}} \right)\mathrm{t} \\ $$$$\:\:\:\:=\:\mathrm{gtsin}\:\theta_{\mathrm{1}} −\mathrm{Vcos}\:\theta_{\mathrm{2}} \:\:\:\:…..\left(\mathrm{ii}\right) \\ $$$$\mathrm{v}=\mathrm{gtsin}\:\theta_{\mathrm{2}} +\mathrm{Vcos}\:\theta_{\mathrm{2}} \:\:\:\:\:\:…..\left(\mathrm{iii}\right) \\ $$$$\mathrm{m}_{\mathrm{1}} \mathrm{ucos}\:\theta_{\mathrm{1}} +\left(\mathrm{M}+\mathrm{m}_{\mathrm{1}} +\mathrm{m}_{\mathrm{2}} \right)\mathrm{V} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\:\mathrm{m}_{\mathrm{2}} \mathrm{vcos}\:\theta_{\mathrm{2}} \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:…..\left(\mathrm{iv}\right) \\ $$$$\mathrm{using}\:\left(\mathrm{i}\right),\:\left(\mathrm{ii}\right),\:\left(\mathrm{iii}\right),\:\left(\mathrm{iv}\right) \\ $$$$\mathrm{V}\:\mathrm{is}\:\mathrm{obtained}… \\ $$$$ \\ $$
Commented by mr W last updated on 23/Feb/20
$${wonderful}\:{solution}\:{sir}! \\ $$$${we}\:{can}\:{get} \\ $$$${V}=\frac{\mathrm{8}{gh}}{\mathrm{cos}\:\theta_{\mathrm{1}} \left\{\frac{\mathrm{4}\:\mathrm{tan}\:\theta_{\mathrm{1}} \left(\mathrm{M}+\mathrm{m}_{\mathrm{1}} \mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \:\theta_{\mathrm{1}} +\mathrm{m}_{\mathrm{2}} \mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \:\theta_{\mathrm{2}} \right)}{{m}_{\mathrm{2}} \mathrm{sin}\:\mathrm{2}\theta_{\mathrm{2}} −{m}_{\mathrm{1}} \mathrm{sin}\:\mathrm{2}\theta_{\mathrm{1}} }−\mathrm{1}\right\}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}} \\ $$
Commented by mr W last updated on 24/Feb/20
$${what}'{s}\:{the}\:{condition}\:{that}\:{m}_{\mathrm{1}} \:{reaches} \\ $$$${the}\:{bottom}\:{firstly}? \\ $$
Commented by ajfour last updated on 24/Feb/20
$$\mathrm{If}\:\:\:\mathrm{t}_{\mathrm{1}} <\:\mathrm{t}_{\mathrm{2}} \:,\:\:\:\mathrm{m}_{\mathrm{1}} \:\mathrm{reaches}\:\mathrm{first}. \\ $$$$\mathrm{a}_{\mathrm{1}} =\mathrm{gsin}\:\theta_{\mathrm{1}} −\mathrm{Acos}\:\theta_{\mathrm{1}} \\ $$$$\mathrm{a}_{\mathrm{2}} =\mathrm{gsin}\:\theta_{\mathrm{2}} +\mathrm{Acos}\:\theta_{\mathrm{2}} \\ $$$$\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{a}_{\mathrm{1}} \mathrm{t}_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{2}} =\frac{\mathrm{h}}{\mathrm{sin}\:\theta_{\mathrm{1}} }\:\:\:,\:\:\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{a}_{\mathrm{2}} \mathrm{t}_{\mathrm{2}} ^{\mathrm{2}} =\frac{\mathrm{h}}{\mathrm{sin}\:\theta_{\mathrm{2}} } \\ $$$$\:\:\mathrm{t}_{\mathrm{1}} =\sqrt{\frac{\mathrm{2h}}{\mathrm{a}_{\mathrm{1}} \mathrm{sin}\:\theta_{\mathrm{1}} }}\:,\:\:\mathrm{t}_{\mathrm{2}} =\sqrt{\frac{\mathrm{2h}}{\mathrm{a}_{\mathrm{2}} \mathrm{sin}\:\theta_{\mathrm{2}} }} \\ $$$$\mathrm{N}_{\mathrm{1}} =\mathrm{m}_{\mathrm{1}} \mathrm{gcos}\:\theta_{\mathrm{1}} +\mathrm{m}_{\mathrm{1}} \mathrm{Asin}\:\theta_{\mathrm{1}} \\ $$$$\mathrm{N}_{\mathrm{2}} =\mathrm{m}_{\mathrm{2}} \mathrm{gcos}\:\theta_{\mathrm{2}} −\mathrm{m}_{\mathrm{2}} \mathrm{Asin}\:\theta_{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{N}_{\mathrm{2}} \mathrm{sin}\:\theta_{\mathrm{2}} −\mathrm{N}_{\mathrm{1}} \mathrm{sin}\:\theta_{\mathrm{1}} =\mathrm{MA} \\ $$$$\mathrm{A}\:\mathrm{is}\:\mathrm{determined}\:\mathrm{from}\:\mathrm{above}\:\mathrm{3}\:\mathrm{eqs}. \\ $$$$\mathrm{hence}\:\mathrm{we}\:\mathrm{have}\:\mathrm{a}_{\mathrm{1}} \:,\:\mathrm{a}_{\mathrm{2}} . \\ $$$$\mathrm{Then}\:\mathrm{the}\:\mathrm{condition}\:\mathrm{can}\:\mathrm{be} \\ $$$$\mathrm{expressed}.. \\ $$
Commented by mr W last updated on 24/Feb/20
$${clear}!\:{thanks}! \\ $$