Question Number 83543 by Power last updated on 03/Mar/20
Commented by john santu last updated on 03/Mar/20
$$\mathrm{let}\:\mathrm{1}+\mathrm{2x}+\mathrm{3x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{4x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{5x}^{\mathrm{4}} +…\:=\:\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right) \\ $$$$\int\:\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}=\:\int\left(\mathrm{1}+\mathrm{2x}+\mathrm{3x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{4x}^{\mathrm{3}} +…\right)\mathrm{dx} \\ $$$$\int\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\:\mathrm{dx}\:=\:\mathrm{x}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{x}^{\mathrm{4}} +… \\ $$$$\int\:\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}\:=\:\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{1}−\mathrm{x}}=\:\frac{\mathrm{x}}{−\mathrm{x}+\mathrm{1}}\:\Rightarrow\:\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\:=\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)^{\mathrm{2}} }\: \\ $$$$\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)^{\mathrm{2}} }\:=\:\frac{\mathrm{49}}{\mathrm{36}\:}\:\Rightarrow\:\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)^{\mathrm{2}} \:=\:\frac{\mathrm{36}}{\mathrm{49}} \\ $$$$\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}−\frac{\mathrm{6}}{\mathrm{7}}\right)\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}+\frac{\mathrm{6}}{\mathrm{7}}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{7}}−\mathrm{x}\right)\left(\frac{\mathrm{13}}{\mathrm{7}}−\mathrm{x}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{x}\:=\:\begin{cases}{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{7}}}\\{\frac{\mathrm{13}}{\mathrm{7}}}\end{cases} \\ $$
Commented by Power last updated on 03/Mar/20
$$\mathrm{thanks} \\ $$
Answered by mr W last updated on 03/Mar/20
$${f}\left({x}\right)=\mathrm{1}+\mathrm{2}{x}+\mathrm{3}{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{4}{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{5}{x}^{\mathrm{4}} +… \\ $$$${xf}\left({x}\right)=\:\:\:\:\:{x}+\mathrm{2}{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{4}{x}^{\mathrm{4}} +… \\ $$$$\left(\mathrm{1}−{x}\right){f}\left({x}\right)=\mathrm{1}+{x}+{x}^{\mathrm{2}} +{x}^{\mathrm{3}} +{x}^{\mathrm{4}} +… \\ $$$$\left(\mathrm{1}−{x}\right){f}\left({x}\right)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}−{x}},\:{if}\:\mid{x}\mid<\mathrm{1} \\ $$$$\left(\mathrm{1}−{x}\right){f}\left({x}\right)=\infty,\:{if}\:\mid{x}\mid\geqslant\mathrm{1} \\ $$$$ \\ $$$${with}\:\mid{x}\mid<\mathrm{1}: \\ $$$$\Rightarrow{f}\left({x}\right)=\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{1}−{x}\right)^{\mathrm{2}} }=\frac{\mathrm{49}}{\mathrm{36}} \\ $$$$\Rightarrow\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}−{x}}=\pm\frac{\mathrm{7}}{\mathrm{6}} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{1}−{x}=\pm\frac{\mathrm{6}}{\mathrm{7}} \\ $$$$\Rightarrow{x}=\mathrm{1}\pm\frac{\mathrm{6}}{\mathrm{7}} \\ $$$${since}\:\mid{x}\mid<\mathrm{1},\:{there}\:{is}\:{only}\:{one}\:{solution}: \\ $$$$\Rightarrow{x}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{7}} \\ $$