Menu Close

Question-83874

Tinku Tara 0 Comments
Pin




Question Number 83874 by Power last updated on 07/Mar/20
Commented by niroj last updated on 07/Mar/20
xy( x^2 −y^2 )= 24....(i) x^2 +y^2 =10......(ii) multipy by xy in (ii)then (i)+(ii) x^3 y−xy^3 =24 ((x^3 y+xy^3 = 10xy)/(2x^3 y=10xy+24)) x^3 y=5xy+12 x^3 y−5xy=12 xy(x^2 −5)=12 xy = ((12)/(x^2 −5)) y= ((12)/(x^3 −5x))......(iii) putting the value of y in (ii) x^2 +y^2 =10 x^2 +(((12)/(x^3 −5x)))^2 =10 x^2 + ((144)/(x^2 (x^2 −5)^2 )) =10 or , (((x^2 )^2 (x^2 −5)^2 +144)/(x^2 (x^2 −5)^2 ))=10 or,(x^2 )^2 (x^2 −5)^2 +144=10x^2 (x^2 −5)^2 or, (x^2 )^2 (x^2 −5)^2 −10x^2 (x^2 −5)^2 +144=0 x^2 −5=t⇒ x^2 =t+5 (t+5)^2 t^2 −10(t+5)t^2 +144=0 t^2 (t+5){t+5−10}+144=0 t^2 (t+5)(t−5)+144=0 t^2 (t^2 −25)+144=0 (t^2 )^2 −25t^2 +144=0 t^2 = ((25+^− (√(625−576)))/2) t^2 = ((25+^− (√(49)))/2)= ((25+^− 7)/2) t^2 = ((25+7)/2)=16(+ve ) t^2 = ((25−7)/2)=9 (−ve) t^2 =9, 16 t= +^− 3, +^− 4 again,if t^2 =9 t=x^2 −5 t^2 =(x^2 −5)^2 (x^2 −5)^2 −9=0 (x^2 −5+3)(x^2 −5−3)=0 (x^2 −2)(x^2 −8)=0 x=+_− (√2) , +_− 2(√2) now again if t^2 =16 t^2 =(x^2 −5)^2 ⇒ 16=(x^2 −5)^2 (x^2 −5)−4^2 =0 (x^2 −5+4)(x^2 −5−4)=0 (x^2 −1)(x^2 −9)=0 x=+_− 1, +_− 3 ∴ x= +_− (1,3,(√2) ,2(√2) ) for y...also put the value of x in terms of (iii) .
$$\:\:\:\mathrm{xy}\left(\:\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{y}^{\mathrm{2}} \right)=\:\mathrm{24}….\left(\mathrm{i}\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{y}^{\mathrm{2}} =\mathrm{10}……\left(\mathrm{ii}\right) \\ $$$$\:\:\mathrm{multipy}\:\mathrm{by}\:\mathrm{xy}\:\mathrm{in}\:\left(\mathrm{ii}\right)\mathrm{then}\:\left(\mathrm{i}\right)+\left(\mathrm{ii}\right)\: \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\mathrm{x}^{\mathrm{3}} \mathrm{y}−\mathrm{xy}^{\mathrm{3}} =\mathrm{24} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{3}} \mathrm{y}+\mathrm{xy}^{\mathrm{3}} \:=\:\mathrm{10xy}}{\mathrm{2x}^{\mathrm{3}} \mathrm{y}=\mathrm{10xy}+\mathrm{24}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{x}^{\mathrm{3}} \mathrm{y}=\mathrm{5xy}+\mathrm{12} \\ $$$$\:\:\:\:\mathrm{x}^{\mathrm{3}} \mathrm{y}−\mathrm{5xy}=\mathrm{12} \\ $$$$\:\:\:\mathrm{xy}\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{5}\right)=\mathrm{12} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\mathrm{xy}\:=\:\frac{\mathrm{12}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{5}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{y}=\:\frac{\mathrm{12}}{\mathrm{x}^{\mathrm{3}} −\mathrm{5x}}……\left(\mathrm{iii}\right)\:\:\:\:\:\:\:\: \\ $$$$\:\:\mathrm{putting}\:\mathrm{the}\:\mathrm{value}\:\mathrm{of}\:\mathrm{y}\:\mathrm{in}\:\left(\mathrm{ii}\right) \\ $$$$\:\:\:\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{y}^{\mathrm{2}} =\mathrm{10} \\ $$$$\:\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\left(\frac{\mathrm{12}}{\mathrm{x}^{\mathrm{3}} −\mathrm{5x}}\right)^{\mathrm{2}} =\mathrm{10} \\ $$$$\:\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\:\frac{\mathrm{144}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{5}\right)^{\mathrm{2}} }\:=\mathrm{10} \\ $$$$\mathrm{or}\:,\:\frac{\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{5}\right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{144}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{5}\right)^{\mathrm{2}} }=\mathrm{10} \\ $$$$\:\mathrm{or},\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{5}\right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{144}=\mathrm{10x}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{5}\right)^{\mathrm{2}} \\ $$$$\:\mathrm{or},\:\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{5}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{10x}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{5}\right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{144}=\mathrm{0} \\ $$$$\:\:\:\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{5}=\mathrm{t}\Rightarrow\:\mathrm{x}^{\mathrm{2}} =\mathrm{t}+\mathrm{5} \\ $$$$\:\:\left(\mathrm{t}+\mathrm{5}\right)^{\mathrm{2}} \mathrm{t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{10}\left(\mathrm{t}+\mathrm{5}\right)\mathrm{t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{144}=\mathrm{0} \\ $$$$\:\:\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{t}+\mathrm{5}\right)\left\{\mathrm{t}+\mathrm{5}−\mathrm{10}\right\}+\mathrm{144}=\mathrm{0} \\ $$$$\:\:\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{t}+\mathrm{5}\right)\left(\mathrm{t}−\mathrm{5}\right)+\mathrm{144}=\mathrm{0} \\ $$$$\:\:\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{25}\right)+\mathrm{144}=\mathrm{0} \\ $$$$\:\:\left(\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{25t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{144}=\mathrm{0} \\ $$$$\:\:\:\mathrm{t}^{\mathrm{2}} =\:\frac{\mathrm{25}\overset{−} {+}\sqrt{\mathrm{625}−\mathrm{576}}}{\mathrm{2}} \\ $$$$\:\:\mathrm{t}^{\mathrm{2}} =\:\frac{\mathrm{25}\overset{−} {+}\sqrt{\mathrm{49}}}{\mathrm{2}}=\:\frac{\mathrm{25}\overset{−} {+}\mathrm{7}}{\mathrm{2}} \\ $$$$\:\:\mathrm{t}^{\mathrm{2}} =\:\frac{\mathrm{25}+\mathrm{7}}{\mathrm{2}}=\mathrm{16}\left(+\mathrm{ve}\:\right) \\ $$$$\:\mathrm{t}^{\mathrm{2}} =\:\frac{\mathrm{25}−\mathrm{7}}{\mathrm{2}}=\mathrm{9}\:\left(−\mathrm{ve}\right) \\ $$$$\:\:\mathrm{t}^{\mathrm{2}} =\mathrm{9},\:\mathrm{16} \\ $$$$\:\mathrm{t}=\:\overset{−} {+}\mathrm{3},\:\overset{−} {+}\mathrm{4} \\ $$$$\:\:\:\mathrm{again},\mathrm{if}\:\mathrm{t}^{\mathrm{2}} =\mathrm{9} \\ $$$$\:\:\mathrm{t}=\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{5}\:\: \\ $$$$\:\:\mathrm{t}^{\mathrm{2}} =\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{5}\right)^{\mathrm{2}} \\ $$$$\:\:\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{5}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{9}=\mathrm{0} \\ $$$$\:\:\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{5}+\mathrm{3}\right)\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{5}−\mathrm{3}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\:\:\:\:\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}\right)\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{8}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\:\:\mathrm{x}=\underset{−} {+}\sqrt{\mathrm{2}}\:,\:\underset{−} {+}\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}} \\ $$$$\:\:\:\mathrm{now}\:\mathrm{again}\:\mathrm{if}\:\mathrm{t}^{\mathrm{2}} =\mathrm{16}\: \\ $$$$\:\:\:\:\mathrm{t}^{\mathrm{2}} =\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{5}\right)^{\mathrm{2}} \Rightarrow\:\mathrm{16}=\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{5}\right)^{\mathrm{2}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{5}\right)−\mathrm{4}^{\mathrm{2}} =\mathrm{0} \\ $$$$\:\:\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{5}+\mathrm{4}\right)\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{5}−\mathrm{4}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\:\:\:\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{9}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\:\:\:\:\mathrm{x}=\underset{−} {+}\mathrm{1},\:\underset{−} {+}\mathrm{3} \\ $$$$\:\:\:\:\therefore\:\mathrm{x}=\:\underset{−} {+}\left(\mathrm{1},\mathrm{3},\sqrt{\mathrm{2}}\:,\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}\:\:\right) \\ $$$$\:\:\mathrm{for}\:\mathrm{y}…\mathrm{also}\:\:\mathrm{put}\:\mathrm{the}\:\mathrm{value}\:\mathrm{of}\:\mathrm{x}\: \\ $$$$\:\:\mathrm{in}\:\mathrm{terms}\:\mathrm{of}\:\left(\mathrm{iii}\right)\:. \\ $$$$ \\ $$
Answered by john santu last updated on 07/Mar/20
(xy)^2 = (5+((12)/(xy)))(5−((12)/(xy))) (xy)^2 = 25−((144)/((xy)^2 )) let (xy)^2 = t ⇒ t+((144)/t)−25=0 t^2 −25t +144 = 0 t = ((25±(√(625−576)))/2) = ((25±7)/2)=16 or 9 xy = ± 4 or ± 3 ⇒ i think it easy to solve
$$\left(\mathrm{xy}\right)^{\mathrm{2}} =\:\left(\mathrm{5}+\frac{\mathrm{12}}{\mathrm{xy}}\right)\left(\mathrm{5}−\frac{\mathrm{12}}{\mathrm{xy}}\right) \\ $$$$\left(\mathrm{xy}\right)^{\mathrm{2}} \:=\:\mathrm{25}−\frac{\mathrm{144}}{\left(\mathrm{xy}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\mathrm{let}\:\left(\mathrm{xy}\right)^{\mathrm{2}} \:=\:\mathrm{t}\:\Rightarrow\:\mathrm{t}+\frac{\mathrm{144}}{\mathrm{t}}−\mathrm{25}=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{25t}\:+\mathrm{144}\:=\:\mathrm{0}\: \\ $$$$\mathrm{t}\:=\:\frac{\mathrm{25}\pm\sqrt{\mathrm{625}−\mathrm{576}}}{\mathrm{2}}\:=\:\frac{\mathrm{25}\pm\mathrm{7}}{\mathrm{2}}=\mathrm{16}\:\mathrm{or}\:\mathrm{9} \\ $$$$\mathrm{xy}\:=\:\pm\:\mathrm{4}\:\mathrm{or}\:\pm\:\mathrm{3}\:\Rightarrow\:\mathrm{i}\:\mathrm{think}\:\mathrm{it}\:\mathrm{easy}\:\mathrm{to}\:\mathrm{solve} \\ $$

Pin

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *