Question Number 84109 by Power last updated on 09/Mar/20
Commented by mahdi last updated on 09/Mar/20
$$\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{5}}+…+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2x}+\mathrm{1}}\approx\mathrm{ln}\left(\frac{\mathrm{2x}+\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{x}}}\right)+\mathrm{0}.\mathrm{28861} \\ $$
Commented by mathmax by abdo last updated on 09/Mar/20
$${A}_{{n}} =\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{5}}\:+….+\frac{\mathrm{1}}{{n}−\mathrm{2}} \\ $$$${case}\:\mathrm{1}\:\:{n}=\mathrm{2}{p}+\mathrm{1}\:\Rightarrow\:{A}_{{n}} =\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{5}}+….+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}{p}−\mathrm{1}} \\ $$$$=\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\:+…..+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}{p}−\mathrm{1}}\:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}{p}}\:−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}−…−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}{p}} \\ $$$$={H}_{\mathrm{2}{p}} −\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\:{H}_{{p}} \:\:\:\:{we}\:{have}\:{p}=\left[\frac{{n}−\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right]\:\Rightarrow \\ $$$${A}_{{n}} ={H}_{\mathrm{2}\left[\frac{{n}−\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right]} −\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{H}_{\left[\frac{{n}−\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right]} \\ $$$${case}\:\mathrm{2}\:\:{n}=\mathrm{2}{p}\:\Rightarrow\:{A}_{{n}} =\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{5}}\:+….+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\left({p}−\mathrm{1}\right)} \\ $$$$=\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}+….+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}{p}−\mathrm{4}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}{p}−\mathrm{3}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\left({p}−\mathrm{1}\right)} \\ $$$$−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}−….−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\left({p}−\mathrm{2}\right)}\:={H}_{\mathrm{2}{p}−\mathrm{2}} −\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{H}_{{p}−\mathrm{2}} \\ $$$$={H}_{\mathrm{2}\left[\frac{{n}}{\mathrm{2}}\right]−\mathrm{2}} −\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{H}_{\left[\frac{{n}}{\mathrm{2}}\right]−\mathrm{2}} \\ $$$${H}_{{N}} =\sum_{{k}=\mathrm{1}} ^{{N}} \:\frac{\mathrm{1}}{{k}} \\ $$
Answered by mind is power last updated on 09/Mar/20
$$\underset{{k}=\mathrm{0}} {\overset{{n}} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}{k}+\mathrm{1}}=\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{{k}}−\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}{k}}={H}_{\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}} −\frac{{H}_{{n}} }{\mathrm{2}} \\ $$