Question Number 86447 by Chi Mes Try last updated on 28/Mar/20
Commented by mathmax by abdo last updated on 29/Mar/20
$${let}\:{f}\left({t}\right)\:=\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\:\frac{{arctan}\left({t}\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} +{a}^{\mathrm{2}} }\right)}{\left(\mathrm{1}+{x}^{\mathrm{2}} \right)\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} \:+{a}^{\mathrm{2}} }}{dx}\:\:\:{with}\:{t}>\mathrm{0} \\ $$$${f}^{'} \left({t}\right)=\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\:\:\:\:\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{1}+{x}^{\mathrm{2}} \right)\left(\mathrm{1}+{t}^{\mathrm{2}} \left({x}^{\mathrm{2}} \:+{a}^{\mathrm{2}} \right)\right.}{dx} \\ $$$$=\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\:\frac{{dx}}{\left(\mathrm{1}+{x}^{\mathrm{2}} \right)\left(\mathrm{1}+{t}^{\mathrm{2}} {x}^{\mathrm{2}} \:+{a}^{\mathrm{2}} {t}^{\mathrm{2}} \right)}\:=\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\:\:\:\frac{{dx}}{\left({x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}\right)\left({t}^{\mathrm{2}} {x}^{\mathrm{2}} \:+{a}^{\mathrm{2}} {t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{{t}^{\mathrm{2}} }\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\:\:\frac{{dx}}{\left({x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}\right)\left({x}^{\mathrm{2}} +\frac{{a}^{\mathrm{2}} {t}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}}{{t}^{\mathrm{2}} }\right)}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{2}{t}^{\mathrm{2}} {f}^{'} \left({t}\right)\:=\int_{−\infty} ^{+\infty} \:\frac{{dx}}{\left({x}−{i}\right)\left({x}+{i}\right)\left({x}−{i}\frac{\sqrt{{a}^{\mathrm{2}} {t}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}}}{{t}}\right)\left({x}+{i}\frac{\sqrt{{a}^{\mathrm{2}} {t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}}{{t}}\right)} \\ $$$${let}\:\varphi\left({z}\right)\:=\frac{\mathrm{1}}{\left({z}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}\right)\left({z}^{\mathrm{2}} \:+\frac{{a}^{\mathrm{2}} {t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}{{t}^{\mathrm{2}} }\right)} \\ $$$$\int_{−\infty} ^{+\infty} \:\varphi\left({z}\right){dz}\:=\mathrm{2}{i}\pi\:\left\{{Res}\left(\varphi,{i}\right)+{Res}\left(\varphi,{i}\frac{\sqrt{{a}^{\mathrm{2}} {t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}}{{t}}\right)\right\} \\ $$$${Res}\left(\varphi,{i}\right)\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}{i}\left(−\mathrm{1}+\frac{{a}^{\mathrm{2}} {t}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}}{{t}^{\mathrm{2}} }\right)}\:=\frac{{t}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}{i}\left({a}^{\mathrm{2}} {t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}−{t}^{\mathrm{2}} \right)}\:=\frac{{t}^{\mathrm{2}} }{\left.\mathrm{2}{i}\left\{\left({a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right){t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)\right\}} \\ $$$${Res}\left(\varphi,{i}\frac{\sqrt{{a}^{\mathrm{2}} {t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}}{{t}}\right)\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}{i}\frac{\sqrt{{a}^{\mathrm{2}} {t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}}{{t}}\left(\:−\frac{{a}^{\mathrm{2}} {t}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}}{{t}^{\mathrm{2}} }+\mathrm{1}\right)} \\ $$$$=\frac{{t}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{2}{i}\sqrt{{a}^{\mathrm{2}} {t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}\left({t}^{\mathrm{2}} −{a}^{\mathrm{2}} {t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)}\:=\frac{{t}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{2}{i}\sqrt{{a}^{\mathrm{2}} {t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}\left(\left(\mathrm{1}−{a}^{\mathrm{2}} \right){t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)}\:\Rightarrow \\ $$$$\int_{−\infty} ^{+\infty} \:\varphi\left({z}\right){dz}\:=\mathrm{2}{i}\pi\left\{\:\:\frac{{t}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}{i}\left\{\left({a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right){t}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}\right\}}\:+\frac{{t}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{2}{i}\sqrt{{a}^{\mathrm{2}} {t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}\left\{\left(\mathrm{1}−{a}^{\mathrm{2}} \right){t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right\}}\right\} \\ $$$$=\frac{\pi{t}^{\mathrm{2}} }{\left({a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right){t}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}}\:+\frac{\pi{t}^{\mathrm{3}} }{\:\sqrt{{a}^{\mathrm{2}} {t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}\left\{\left(\mathrm{1}−{a}^{\mathrm{2}} \right){t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right\}}=\mathrm{2}{t}^{\mathrm{2}} {f}^{'} \left({t}\right)\:\Rightarrow \\ $$$${f}^{'} \left({t}\right)\:=\frac{\pi}{\mathrm{2}\left\{\left({a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right){t}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}\right\}}\:+\frac{\pi{t}}{\mathrm{2}\sqrt{{a}^{\mathrm{2}} {t}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}}\left\{\left(\mathrm{1}−{a}^{\mathrm{2}} \right){u}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right\}}\:\Rightarrow \\ $$$${f}\left({t}\right)\:=\int_{\mathrm{0}} ^{{t}} \:\:\frac{\pi{du}}{\mathrm{2}\left\{\left({a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right){u}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}\right\}}\:+\frac{\pi}{\mathrm{2}}\int_{\mathrm{0}} ^{{t}} \:\frac{{udu}}{\:\sqrt{{a}^{\mathrm{2}} {u}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}\left\{\left(\mathrm{1}−{a}^{\mathrm{2}} \right){u}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right\}}\:+{c} \\ $$$${c}={f}\left(\mathrm{0}\right)=\mathrm{0} \\ $$$${I}\:={f}\left(\mathrm{1}\right)\:=\frac{\pi}{\mathrm{2}}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\:\:\:\frac{{du}}{\left({a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right){u}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}}\:+\frac{\pi}{\mathrm{2}}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{{udu}}{\:\sqrt{{a}^{\mathrm{2}} {u}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}\left\{\left(\mathrm{1}−{a}^{\mathrm{2}} \right){u}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right\}} \\ $$$$….{be}\:{continued}…. \\ $$