Question-93434

Question Number 93434 by naka3546 last updated on 13/May/20

Commented by naka3546 last updated on 13/May/20

AT^( 2) +BT^( 2) = 3312 CT^( 2) +DT^( 2) = 3308 Radius of circle is ... ?

$${AT}^{\:\mathrm{2}} +{BT}^{\:\mathrm{2}} \:=\:\mathrm{3312} \\ $$$${CT}^{\:\mathrm{2}} +{DT}^{\:\mathrm{2}} \:=\:\mathrm{3308} \\ $$$${Radius}\:\:{of}\:\:{circle}\:\:{is}\:…\:? \\ $$

Answered by 1549442205 last updated on 13/May/20

Denote K,I be the midpoints of AB and CD respectively.Putting AB=2a,CD=2b,KT=x IT=y.We have (a+x)^2 +(a−x)^2 =3312 and (b+y)^2 +(b−y)^2 3308 or a^2 +x^2 =1656(1) and b^2 +y^2 =1654(2).On the other hands,by the relations in the circle we have TA.TB=TC.TD =R^2 − TO^2 (3).From(1) and(2)have a^2 +b^2 +x^2 +y^2 =3310(∗).We have also TO^2 =x^2 +y^2 Therefore,we have (3) ⇔(a+x)(a−x)=(b+y)(b−y)=R^2 −(x^2 +y^2 ) ⇔a^2 −x^2 =b^2 −y^2 =R^2 −(x^2 +y^2 )⇒R^2 =a^2 +y^2 =b^2 +x^2 ⇒R^2 =((a^2 +b^2 +x^2 +y^2 )/2)=1655(by(∗)) Hence R=(√( 1655))

$$\mathrm{Denote}\:\mathrm{K},\mathrm{I}\:\mathrm{be}\:\mathrm{the}\:\mathrm{midpoints}\:\mathrm{of}\:\mathrm{AB}\:\mathrm{and}\:\mathrm{CD} \\ $$$$\mathrm{respectively}.\mathrm{Putting}\:\mathrm{AB}=\mathrm{2a},\mathrm{CD}=\mathrm{2b},\mathrm{KT}=\mathrm{x} \\ $$$$\mathrm{IT}=\mathrm{y}.\mathrm{We}\:\mathrm{have}\:\left(\mathrm{a}+\mathrm{x}\right)^{\mathrm{2}} +\left(\mathrm{a}−\mathrm{x}\right)^{\mathrm{2}} \:=\mathrm{3312}\:\mathrm{and}\:\left(\mathrm{b}+\mathrm{y}\right)^{\mathrm{2}} \\ $$$$+\left(\mathrm{b}−\mathrm{y}\right)^{\mathrm{2}} \:\mathrm{3308}\:\mathrm{or}\:\mathrm{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{x}^{\mathrm{2}} =\mathrm{1656}\left(\mathrm{1}\right)\:\mathrm{and} \\ $$$$\mathrm{b}^{\mathrm{2}} +\mathrm{y}^{\mathrm{2}} =\mathrm{1654}\left(\mathrm{2}\right).\mathrm{On}\:\mathrm{the}\:\mathrm{other}\:\mathrm{hands},\mathrm{by}\:\mathrm{the} \\ $$$$\mathrm{relations}\:\mathrm{in}\:\mathrm{the}\:\mathrm{circle}\:\mathrm{we}\:\mathrm{have}\:\mathrm{TA}.\mathrm{TB}=\mathrm{TC}.\mathrm{TD} \\ $$$$=\mathrm{R}^{\mathrm{2}} −\:\mathrm{TO}^{\mathrm{2}} \:\left(\mathrm{3}\right).\mathrm{From}\left(\mathrm{1}\right)\:\mathrm{and}\left(\mathrm{2}\right)\mathrm{have}\: \\ $$$$\mathrm{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{b}^{\mathrm{2}} +\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{y}^{\mathrm{2}} =\mathrm{3310}\left(\ast\right).\mathrm{We}\:\mathrm{have}\:\mathrm{also}\:\mathrm{TO}^{\mathrm{2}} =\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{y}^{\mathrm{2}} \: \\ $$$$\mathrm{Therefore},\mathrm{we}\:\mathrm{have}\:\left(\mathrm{3}\right) \\ $$$$\Leftrightarrow\left(\mathrm{a}+\mathrm{x}\right)\left(\mathrm{a}−\mathrm{x}\right)=\left(\mathrm{b}+\mathrm{y}\right)\left(\mathrm{b}−\mathrm{y}\right)=\mathrm{R}^{\mathrm{2}} −\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{y}^{\mathrm{2}} \right) \\ $$$$\Leftrightarrow\mathrm{a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{x}^{\mathrm{2}} =\mathrm{b}^{\mathrm{2}} −\mathrm{y}^{\mathrm{2}} =\mathrm{R}^{\mathrm{2}} −\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{y}^{\mathrm{2}} \right)\Rightarrow\mathrm{R}^{\mathrm{2}} =\mathrm{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{y}^{\mathrm{2}} \\ $$$$=\mathrm{b}^{\mathrm{2}} +\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \Rightarrow\mathrm{R}^{\mathrm{2}} =\frac{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{b}^{\mathrm{2}} +\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{y}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}=\mathrm{1655}\left(\mathrm{by}\left(\ast\right)\right) \\ $$$$\mathrm{Hence}\:\mathrm{R}=\sqrt{\:\mathrm{1655}} \\ $$$$ \\ $$

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