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Question-94530

Tinku Tara 0 Comments
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Question Number 94530 by i jagooll last updated on 19/May/20
Commented by PRITHWISH SEN 2 last updated on 19/May/20
∫((x^2 dx)/(x^3 .((x^3 +1))^(1/3) )) put x^3 +1 = t^3 ⇒x^2 dx=t^2 dt ∫(t/((t^3 −1)))dt=∫{(1/(3(t−1)))−((2t+1)/(6(t^2 +t+1)))+(1/(2(t^2 +t+1)))}dt =(1/3)ln∣t−1∣−(1/6)ln∣t^2 +t+1∣+(1/( (√3)))tan^(−1) ((2t+1)/( (√3))) +C =(1/3)ln∣(x^3 +1)^(1/3) −1∣−(1/6)ln∣(x^3 +1)^(2/3) +(x^3 +1)^(1/3) +1∣+(1/( (√3)))tan^(−1) ((2(x^3 +1)^(1/3) +1)/( (√3))) + C
$$\int\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \mathrm{dx}}{\mathrm{x}^{\mathrm{3}} .\sqrt[{\mathrm{3}}]{\mathrm{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{1}}}\:\:\:\:\mathrm{put}\:\mathrm{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{1}\:=\:\mathrm{t}^{\mathrm{3}} \:\Rightarrow\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \mathrm{dx}=\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \mathrm{dt} \\ $$$$\int\frac{\mathrm{t}}{\left(\mathrm{t}^{\mathrm{3}} −\mathrm{1}\right)}\mathrm{dt}=\int\left\{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}\left(\mathrm{t}−\mathrm{1}\right)}−\frac{\mathrm{2t}+\mathrm{1}}{\mathrm{6}\left(\mathrm{t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\left(\mathrm{t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)}\right\}\mathrm{dt} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\mathrm{ln}\mid\mathrm{t}−\mathrm{1}\mid−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}}\mathrm{ln}\mid\mathrm{t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{t}+\mathrm{1}\mid+\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \frac{\mathrm{2t}+\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\:+\mathrm{C} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\boldsymbol{\mathrm{ln}}\mid\left(\boldsymbol{\mathrm{x}}^{\mathrm{3}} +\mathrm{1}\right)^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}} −\mathrm{1}\mid−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}}\boldsymbol{\mathrm{ln}}\mid\left(\boldsymbol{\mathrm{x}}^{\mathrm{3}} +\mathrm{1}\right)^{\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}} +\left(\boldsymbol{\mathrm{x}}^{\mathrm{3}} +\mathrm{1}\right)^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}} +\mathrm{1}\mid+\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \frac{\mathrm{2}\left(\boldsymbol{\mathrm{x}}^{\mathrm{3}} +\mathrm{1}\right)^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}} +\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\:+\:\boldsymbol{\mathrm{C}} \\ $$
Answered by MJS last updated on 19/May/20
∫(dx/(x((x^3 +1))^(1/3) ))= [t=(1/( ((x^3 +1))^(1/3) )) → dx=−((((x^3 +1)^4 ))^(1/3) /x^2 )] =∫(dt/(t^3 −1))=(1/3)∫(dt/(t−1))−(1/3)∫((t+2)/(t^2 +t+1))dt= =(1/3)∫(dt/(t−1))−(1/6)∫((2t+1)/(t^2 +t+1))dt−(1/2)∫(dt/(t^2 +t+1)) now it should be easy
$$\int\frac{{dx}}{{x}\sqrt[{\mathrm{3}}]{{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{1}}}= \\ $$$$\:\:\:\:\:\left[{t}=\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt[{\mathrm{3}}]{{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{1}}}\:\rightarrow\:{dx}=−\frac{\sqrt[{\mathrm{3}}]{\left({x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{1}\right)^{\mathrm{4}} }}{{x}^{\mathrm{2}} }\right] \\ $$$$=\int\frac{{dt}}{{t}^{\mathrm{3}} −\mathrm{1}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\int\frac{{dt}}{{t}−\mathrm{1}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\int\frac{{t}+\mathrm{2}}{{t}^{\mathrm{2}} +{t}+\mathrm{1}}{dt}= \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\int\frac{{dt}}{{t}−\mathrm{1}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}}\int\frac{\mathrm{2}{t}+\mathrm{1}}{{t}^{\mathrm{2}} +{t}+\mathrm{1}}{dt}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int\frac{{dt}}{{t}^{\mathrm{2}} +{t}+\mathrm{1}} \\ $$$$\mathrm{now}\:\mathrm{it}\:\mathrm{should}\:\mathrm{be}\:\mathrm{easy} \\ $$
Commented by john santu last updated on 19/May/20
integral lover prof ������
Commented by i jagooll last updated on 19/May/20
thank you prof
$$\mathrm{thank}\:\mathrm{you}\:\mathrm{prof} \\ $$
Answered by niroj last updated on 19/May/20
I= ∫ (dx/(x((x^3 +1))^(1/3) )) = ∫ (( 1)/(x(x^3 +1)^(1/3) ))dx Put, (x^3 +1)^(1/3) = t x^3 +1 =t^3 3x^2 dx=3t^2 dt dx=(t^2 /x^2 )dt⇒ dx= (t^2 /((t^3 −1)^(2/3) ))dt x^3 =t^3 −1 ⇒ x = (t^3 −1)^(1/3) I = ∫ (1/((t^3 −1)^(1/3) )). (t^2 /(t(t^3 −1)^(2/3) ))dt = ∫ (t/((t^3 −1)))dt = ∫ (((t−1)+1)/((t−1)(t^2 +t+1)))dt = ∫ (1/((t−1)(t^2 +t+1)))dt+∫ (1/(t^2 +t+1))dt = (1/3)∫ (1/(t−1))dt −(1/3)∫ ((t+2)/(t^2 +t+1))dt+∫ (1/(t^2 +t+1))dt = (1/3)∫(1/(t−1))dt −(1/6)∫ (((2t+1))/(t^2 +t+1))dt−(1/2)∫(1/(t^2 +t+1))dt+∫(1/(t^2 +t+1))dt = (1/3)∫ (1/(t−1))dt−(1/6)∫ ((2t+1)/(t^2 +t+1))dt+ (1/2)∫(1/(t^2 +t+1))dt = (1/3)log (t−1) −(1/6)log (t^2 +t+1)+(1/( (√3)))tan^(−1) ((2t+1)/( (√3)))+C Note: Put t= ((x^3 +1))^(1/3) = (1/3)log (((x^3 +1))^(1/3) −1)−(1/6)log {(((x^3 +1))^(1/3) )^2 +((x^3 +1))^(1/3) +1}+(1/( (√3)))tan^(−1) ((2 ((x^3 +1))^(1/3) +1)/( (√3)))+C//. Note:You can many changement in to line of simplify and their value of partial fraction to easier integrate if needed . it is just sort.
$$\:\:\mathrm{I}=\:\int\:\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{x}\sqrt[{\mathrm{3}}]{\mathrm{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{1}}} \\ $$$$\:\:\:=\:\int\:\frac{\:\:\mathrm{1}}{\mathrm{x}\left(\mathrm{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{1}\right)^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}} }\mathrm{dx} \\ $$$$\:\:\mathrm{Put},\:\left(\mathrm{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{1}\right)^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}} =\:\mathrm{t} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\mathrm{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{1}\:=\mathrm{t}^{\mathrm{3}} \\ $$$$\:\:\:\mathrm{3x}^{\mathrm{2}} \mathrm{dx}=\mathrm{3t}^{\mathrm{2}} \mathrm{dt} \\ $$$$\:\:\:\mathrm{dx}=\frac{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }\mathrm{dt}\Rightarrow\:\:\mathrm{dx}=\:\frac{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} }{\left(\mathrm{t}^{\mathrm{3}} −\mathrm{1}\right)^{\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}} }\mathrm{dt} \\ $$$$\:\:\mathrm{x}^{\mathrm{3}} =\mathrm{t}^{\mathrm{3}} −\mathrm{1}\:\Rightarrow\:\mathrm{x}\:=\:\left(\mathrm{t}^{\mathrm{3}} −\mathrm{1}\right)^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}} \\ $$$$\:\:\mathrm{I}\:=\:\int\:\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{t}^{\mathrm{3}} −\mathrm{1}\right)^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}} }.\:\frac{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{t}\left(\mathrm{t}^{\mathrm{3}} −\mathrm{1}\right)^{\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}} }\mathrm{dt} \\ $$$$\:\:\:=\:\:\int\:\frac{\mathrm{t}}{\left(\mathrm{t}^{\mathrm{3}} −\mathrm{1}\right)}\mathrm{dt} \\ $$$$\:\:=\:\:\int\:\frac{\left(\mathrm{t}−\mathrm{1}\right)+\mathrm{1}}{\left(\mathrm{t}−\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)}\mathrm{dt} \\ $$$$\:=\:\:\int\:\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{t}−\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)}\mathrm{dt}+\int\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{t}+\mathrm{1}}\mathrm{dt} \\ $$$$\:=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\int\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{t}−\mathrm{1}}\mathrm{dt}\:−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\int\:\frac{\mathrm{t}+\mathrm{2}}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{t}+\mathrm{1}}\mathrm{dt}+\int\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{t}+\mathrm{1}}\mathrm{dt} \\ $$$$\:=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\int\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{t}−\mathrm{1}}\mathrm{dt}\:−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}}\int\:\frac{\left(\mathrm{2t}+\mathrm{1}\right)}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{t}+\mathrm{1}}\mathrm{dt}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{t}+\mathrm{1}}\mathrm{dt}+\int\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{t}+\mathrm{1}}\mathrm{dt} \\ $$$$\:=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\int\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{t}−\mathrm{1}}\mathrm{dt}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}}\int\:\frac{\mathrm{2t}+\mathrm{1}}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{t}+\mathrm{1}}\mathrm{dt}+\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{t}+\mathrm{1}}\mathrm{dt} \\ $$$$\:=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\mathrm{log}\:\left(\mathrm{t}−\mathrm{1}\right)\:−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}}\mathrm{log}\:\left(\mathrm{t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)+\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{2t}+\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}+\mathrm{C} \\ $$$$\:\mathrm{Note}:\:\mathrm{Put}\:\mathrm{t}=\:\sqrt[{\mathrm{3}}]{\mathrm{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{1}} \\ $$$$\:\:=\:\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\mathrm{log}\:\left(\sqrt[{\mathrm{3}}]{\mathrm{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{1}}\:\:−\mathrm{1}\right)−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}}\mathrm{log}\:\left\{\left(\sqrt[{\mathrm{3}}]{\mathrm{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{1}}\right)^{\mathrm{2}} +\sqrt[{\mathrm{3}}]{\mathrm{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{1}}\:+\mathrm{1}\right\}+\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \frac{\mathrm{2}\:\sqrt[{\mathrm{3}}]{\mathrm{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{1}}+\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}+\mathrm{C}//. \\ $$$$\:{Note}:{You}\:{can}\:{many}\:{changement}\:{in}\:{to}\:{line}\:{of}\:{simplify}\:{and}\:{their}\:{value}\:{of}\:{partial}\:{fraction}\:{to}\:{easier}\:{integrate}\:{if}\:{needed}\:.\:{it}\:{is}\:{just}\:{sort}. \\ $$$$ \\ $$

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