Question-94556

Question Number 94556 by ar247 last updated on 19/May/20

Commented by ar247 last updated on 19/May/20

$${help} \\ $$

Answered by mr W last updated on 19/May/20

Σ_(k=0) ^∞ x^k =(1/(1−x)) Σ_(k=0) ^∞ (1/(2018^k ))=(1/(1−(1/(2018))))=((2018)/(2017)) Σ_(k=0) ^∞ x^k =(1/(1−x)) Σ_(k=0) ^∞ kx^(k−1) =(1/((1−x)^2 )) Σ_(k=0) ^∞ kx^k =(x/((1−x)^2 )) Σ_(k=0) ^∞ (k/(2018^k ))=(1/(2018))×(1/((1−(1/(2018)))^2 ))=((2018)/(2017^2 )) Σ_(k=0) ^∞ ((2k+1)/(2018^k ))=2Σ_(k=0) ^∞ (k/(2018^k ))+Σ_(k=0) ^∞ (1/(2018^k )) =2×((2018)/(2017^2 ))+((2018)/(2017)) =((2018×2019)/(2017^2 ))≈1.001487

$$\underset{{k}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}{x}^{{k}} =\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}−{x}} \\ $$$$\underset{{k}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2018}^{{k}} }=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2018}}}=\frac{\mathrm{2018}}{\mathrm{2017}} \\ $$$$\underset{{k}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}{x}^{{k}} =\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}−{x}} \\ $$$$\underset{{k}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}{kx}^{{k}−\mathrm{1}} =\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{1}−{x}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\underset{{k}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}{kx}^{{k}} =\frac{{x}}{\left(\mathrm{1}−{x}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\underset{{k}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{{k}}{\mathrm{2018}^{{k}} }=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2018}}×\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2018}}\right)^{\mathrm{2}} }=\frac{\mathrm{2018}}{\mathrm{2017}^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\underset{{k}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{2}{k}+\mathrm{1}}{\mathrm{2018}^{{k}} }=\mathrm{2}\underset{{k}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{{k}}{\mathrm{2018}^{{k}} }+\underset{{k}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2018}^{{k}} } \\ $$$$=\mathrm{2}×\frac{\mathrm{2018}}{\mathrm{2017}^{\mathrm{2}} }+\frac{\mathrm{2018}}{\mathrm{2017}} \\ $$$$=\frac{\mathrm{2018}×\mathrm{2019}}{\mathrm{2017}^{\mathrm{2}} }\approx\mathrm{1}.\mathrm{001487} \\ $$

Answered by abdomathmax last updated on 19/May/20

S =Σ_(n=0) ^∞ ((2n+1)/(2018^n )) let s(x) =Σ_(n=0) ^(∞ ) (2n+1)x^n (∣x∣<1) ⇒s(x) =2Σ_(n=0) ^∞ nx^n +Σ_(n=0) ^∞ x^n Σ_(n=0) ^∞ x^n =(1/(1−x)) ⇒Σ_(n=1) ^∞ nx^(n−1) =(1/((1−x)^2 )) ⇒ Σ_(n=1) ^∞ nx^n =(x/((1−x)^2 )) ⇒s(x) =((2x)/((1−x)^2 )) +(1/(1−x)) S =s((1/(2018))) =(2/(2018(1−(1/(2018)))^2 )) +(1/(1−(1/(2018)))) =(2/(2018×((2017^2 )/(2018^2 )))) +((2018)/(2017)) =((2×2018)/(2017^2 )) +((2018)/(2017)) =((2×2018 +2017×2018)/(2017^2 ))

$$\mathrm{S}\:=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{2n}+\mathrm{1}}{\mathrm{2018}^{\mathrm{n}} }\:\:\mathrm{let}\:\mathrm{s}\left(\mathrm{x}\right)\:=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty\:} \left(\mathrm{2n}+\mathrm{1}\right)\mathrm{x}^{\mathrm{n}} \:\:\:\:\left(\mid\mathrm{x}\mid<\mathrm{1}\right) \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{s}\left(\mathrm{x}\right)\:=\mathrm{2}\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\mathrm{nx}^{\mathrm{n}} \:+\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\mathrm{x}^{\mathrm{n}} \\ $$$$\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\mathrm{x}^{\mathrm{n}} \:\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}−\mathrm{x}}\:\Rightarrow\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\mathrm{nx}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \:=\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)^{\mathrm{2}} }\:\Rightarrow \\ $$$$\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\mathrm{nx}^{\mathrm{n}} \:=\frac{\mathrm{x}}{\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)^{\mathrm{2}} }\:\Rightarrow\mathrm{s}\left(\mathrm{x}\right)\:=\frac{\mathrm{2x}}{\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)^{\mathrm{2}} }\:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}−\mathrm{x}} \\ $$$$\mathrm{S}\:=\mathrm{s}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2018}}\right)\:=\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{2018}\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2018}}\right)^{\mathrm{2}} }\:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2018}}} \\ $$$$=\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{2018}×\frac{\mathrm{2017}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2018}^{\mathrm{2}} }}\:+\frac{\mathrm{2018}}{\mathrm{2017}} \\ $$$$=\frac{\mathrm{2}×\mathrm{2018}}{\mathrm{2017}^{\mathrm{2}} }\:+\frac{\mathrm{2018}}{\mathrm{2017}}\:=\frac{\mathrm{2}×\mathrm{2018}\:+\mathrm{2017}×\mathrm{2018}}{\mathrm{2017}^{\mathrm{2}} } \\ $$$$ \\ $$

Facebook Tweet Pin

Leave a Reply Cancel reply