Question Number 94857 by i jagooll last updated on 21/May/20
Commented by prakash jain last updated on 21/May/20
$$\mathrm{Can}\:\mathrm{you}\:\mathrm{write}\:\mathrm{without}\:\mathrm{bold}\:\mathrm{font}? \\ $$$$\mathrm{It}\:\mathrm{looks}\:\mathrm{too}\:\mathrm{dark}. \\ $$
Commented by i jagooll last updated on 21/May/20
on my cellphone it is not dark
Commented by i jagooll last updated on 21/May/20
and that's the result of the photo
Commented by mr W last updated on 21/May/20
$${you}\:{should}\:{try}\:{to}\:{crop}\:{your}\:{image} \\ $$$${properly},\:{i}.{e}.\:{to}\:{keep}\:{more}\:{write} \\ $$$${space}\:{around}\:{the}\:{formula}\:\left({in}\:{this}\right. \\ $$$${case}\:{more}\:{write}\:{space}\:{on}\:{left}\:{and}\:{right} \\ $$$$\left.{side}\:{from}\:{the}\:{formula}\right),\:{then}\:{you} \\ $$$${will}\:{get}\:{properly}\:{sized}\:{image}\:{after} \\ $$$${posting}.\:{currently}\:{the}\:{images}\:{you} \\ $$$${posted}\:{look}\:{very}\:{tiny}. \\ $$$${this}\:{is}\:{an}\:{example}\:{what}\:{i}\:{do}: \\ $$$${tap}\:{your}\:{image}\:{and}\:{my}\:{image},\:{you} \\ $$$${will}\:{see}\:{where}\:{the}\:{difference}\:{is}. \\ $$
Commented by mr W last updated on 21/May/20
Commented by mr W last updated on 21/May/20
$${i}\:{think}\:{i}\:{know}\:{how}\:{the}\:{problem}\:{comes}. \\ $$$${you}\:{write}\:{the}\:{formula}\:{with}\:{the}\:{editor} \\ $$$${of}\:{this}\:{app}\:{and}\:{then}\:{save}\:{it}\:{as}\:{image} \\ $$$${and}\:{then}\:{post}\:{it}\:{into}\:{the}\:{forum}.\:{but} \\ $$$${the}\:{editor}\:{saves}\:{the}\:{formula}\:{as}\:{image} \\ $$$${without}\:{any}\:{extra}\:{write}\:{space}\:{around} \\ $$$${the}\:{formula}.\:{if}\:{you}\:{don}'{t}\:{treat}\:{such} \\ $$$${an}\:{image}\:{with}\:{an}\:{other}\:{app},\:{you} \\ $$$${won}'{t}\:{be}\:{able}\:{to}\:{solve}\:{this}\:{problem}. \\ $$$${but}\:{my}\:{question}:\:{why}\:{don}'{t}\:{you}\:{write} \\ $$$${the}\:{formula}\:{directly}\:{in}\:{the}\:{forum}? \\ $$
Commented by Tinku Tara last updated on 21/May/20
$$\mathrm{We}\:\mathrm{reverted}\:\mathrm{changes}\:\mathrm{so}\:\mathrm{that}\:\mathrm{images} \\ $$$$\mathrm{will}\:\mathrm{again}\:\mathrm{be}\:\mathrm{scaled}\:\mathrm{to}\:\mathrm{width}.\:\mathrm{So} \\ $$$$\mathrm{they}\:\mathrm{will}\:\mathrm{look}\:\mathrm{big}.\:\mathrm{Please}\:\mathrm{update} \\ $$$$\mathrm{to}\:\mathrm{latest}\:\mathrm{version}.\:\mathrm{2}.\mathrm{71}. \\ $$$$\mathrm{We}\:\mathrm{are}\:\mathrm{still}\:\mathrm{working}\:\mathrm{on}\:\mathrm{a}\:\mathrm{proper} \\ $$$$\mathrm{solution}\:\mathrm{for}\:\mathrm{very}\:\mathrm{small}\:\mathrm{images}. \\ $$$$\mathrm{Thank}\:\mathrm{You}. \\ $$
Answered by mathmax by abdo last updated on 21/May/20
$$\mathrm{I}\:=\int\:\:\frac{\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\mathrm{dx}\:\:\mathrm{complex}\:\mathrm{method}\:\:\mathrm{let}\:\mathrm{decompose} \\ $$$$\mathrm{F}\left(\mathrm{x}\right)\:=\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{2x}+\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\:\Rightarrow\:\mathrm{F}\left(\mathrm{x}\right)\:=\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{2x}+\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{x}−\mathrm{i}\right)^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{x}+\mathrm{i}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\mathrm{F}\left(\mathrm{x}\right)\:=\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{x}}\:+\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }\:+\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{x}−\mathrm{i}}\:+\frac{\mathrm{d}}{\left(\mathrm{x}−\mathrm{i}\right)^{\mathrm{2}} }\:+\frac{\mathrm{e}}{\mathrm{x}+\mathrm{i}}\:+\frac{\mathrm{f}}{\left(\mathrm{x}+\mathrm{i}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\mathrm{b}\:=\mathrm{1}\:\:\:,\mathrm{d}\:=\frac{\mathrm{2i}}{−\left(\mathrm{2i}\right)^{\mathrm{2}} }\:=\frac{−\mathrm{2i}}{−\mathrm{4}}\:=\frac{\mathrm{i}}{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{f}\:=\frac{−\mathrm{2i}}{−\left(−\mathrm{2i}\right)^{\mathrm{2}} }\:=\frac{\mathrm{2i}}{−\mathrm{4}}\:=−\frac{\mathrm{i}}{\mathrm{2}}\:\Rightarrow\mathrm{F}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{x}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }\:+\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{x}−\mathrm{i}}\:+\frac{\mathrm{i}}{\mathrm{2}\left(\mathrm{x}−\mathrm{i}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$$$+\frac{\mathrm{e}}{\mathrm{x}+\mathrm{i}}\:−\frac{\mathrm{i}}{\mathrm{2}\left(\mathrm{x}+\mathrm{i}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\mathrm{lim}_{\mathrm{x}\rightarrow+\infty} \mathrm{xF}\left(\mathrm{x}\right)\:=\mathrm{0}\:=\mathrm{a}\:+\mathrm{c}\:+\mathrm{e} \\ $$$$\mathrm{F}\left(\mathrm{1}\right)\:=\mathrm{1}\:\:=\mathrm{a}\:+\mathrm{1}\:+\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{1}−\mathrm{i}}\:+\frac{\mathrm{i}}{\mathrm{2}\left(\mathrm{1}−\mathrm{i}\right)^{\mathrm{2}} }\:+\frac{\mathrm{e}}{\mathrm{1}+\mathrm{i}}−\frac{\mathrm{i}}{\mathrm{2}\left(\mathrm{1}+\mathrm{i}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$$$=\mathrm{a}+\mathrm{1}\:+\left(\mathrm{1}+\mathrm{i}\right)\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{2}}\:+\frac{\mathrm{i}}{\mathrm{2}\left(−\mathrm{2i}\right)}\:+\left(\mathrm{1}−\mathrm{i}\right)\frac{\mathrm{e}}{\mathrm{2}}−\frac{\mathrm{i}}{\mathrm{2}\left(\mathrm{2i}\right)}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{a}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\mathrm{1}+\mathrm{i}\right)\mathrm{c}\:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\mathrm{1}−\mathrm{i}\right)\mathrm{e}\:=\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{after}\:\mathrm{we}\:\mathrm{calculate}\:\mathrm{F}\left(−\mathrm{1}\right)\:\:\mathrm{we}\:\mathrm{get}\:\mathrm{the}\:\mathrm{value}\:\mathrm{of}\:\mathrm{a}\:\mathrm{c}\:\mathrm{ande}\:\Rightarrow \\ $$$$\int\:\mathrm{F}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}\:=\mathrm{aln}\mid\mathrm{x}\mid−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}\:+\mathrm{cln}\left(\mathrm{x}−\mathrm{i}\right)−\frac{\mathrm{i}}{\mathrm{2}\left(\mathrm{x}−\mathrm{i}\right)}+\mathrm{eln}\left(\mathrm{x}+\mathrm{i}\right)+\frac{\mathrm{i}}{\mathrm{2}\left(\mathrm{x}+\mathrm{i}\right)}\:+\mathrm{C} \\ $$$$=\mathrm{aln}\mid\mathrm{x}\mid\:−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}\:+\mathrm{cln}\left(\mathrm{x}−\mathrm{i}\right)\:+\mathrm{eln}\left(\mathrm{x}+\mathrm{i}\right)+\frac{\mathrm{i}}{\mathrm{2}}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}+\mathrm{i}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}−\mathrm{i}}\right)\:+\mathrm{C} \\ $$$$=\mathrm{aln}\mid\mathrm{x}\mid\:−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}\:+\mathrm{cln}\left(\mathrm{x}−\mathrm{i}\right)+\mathrm{eln}\left(\mathrm{x}+\mathrm{i}\right)\:+\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}}\:+\mathrm{C} \\ $$
Answered by niroj last updated on 21/May/20
$$\:\mathrm{I}=\:\int\:\:\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2x}+\mathrm{1}}{\left\{\mathrm{x}\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)\right\}^{\mathrm{2}} }\mathrm{dx} \\ $$$$\:\:\:=\:\int\:\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}+\mathrm{2x}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\mathrm{dx} \\ $$$$\:\:\:=\:\:\int\:\frac{\:\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\mathrm{dx}\:+\int\:\frac{\:\:\mathrm{2x}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\mathrm{dx} \\ $$$$\:=\:\int\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)}\mathrm{dx}+\int\:\frac{\:\mathrm{2x}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)}\mathrm{dx} \\ $$$$\:\:\mathrm{I}={I}_{\mathrm{1}} +{I}_{\mathrm{2}} \\ $$$$\:\:\mathrm{For},\:{I}_{\mathrm{2}} \\ $$$$\:\:\:\mathrm{Put},\:\:\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}=\mathrm{t}\:,\:\mathrm{x}^{\mathrm{2}} =\mathrm{t}−\mathrm{1} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{2xdx}=\mathrm{dt} \\ $$$$\:\:\int\frac{\:\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }\mathrm{dx}−\int\frac{\:\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}\mathrm{dx}+\int\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{t}−\mathrm{1}\right)\mathrm{t}}\mathrm{dt} \\ $$$$\:\:\:\left[\:\frac{\mathrm{x}^{−\mathrm{2}+\mathrm{1}} }{−\mathrm{2}+\mathrm{1}}\right]\:−\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \mathrm{x}\:+\int\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{t}−\mathrm{1}}\mathrm{dt}−\int\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{t}}\mathrm{dt}+\:\mathrm{C} \\ $$$$\:\:\:\frac{\mathrm{x}^{−\mathrm{1}} }{−\mathrm{1}}\:−\:\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \mathrm{x}\:+\mathrm{log}\:\left(\mathrm{t}−\mathrm{1}\right)−\mathrm{log}\:\mathrm{t}+\mathrm{C} \\ $$$$−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}\:−\:\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \mathrm{x}\:+\mathrm{log}\:\frac{\mathrm{t}−\mathrm{1}}{\mathrm{t}}\:+\mathrm{C} \\ $$$$\:−\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}−\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \mathrm{x}\:+\:\mathrm{log}\:\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}−\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}+\mathrm{C} \\ $$$$\:\:−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}\:−\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \mathrm{x}\:+\mathrm{log}\:\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}+\mathrm{C}\://. \\ $$$$\: \\ $$$$ \\ $$