Question Number 94874 by i jagooll last updated on 21/May/20
Commented by hknkrc46 last updated on 21/May/20
$$\sqrt{\mathrm{2}−\mathrm{7x}}+\mathrm{2x}=\mathrm{0} \\ $$$$\bigstar\:\sqrt[{\mathrm{2n}}]{\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)}\geqslant\mathrm{0}\:\:\wedge\:\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\geqslant\mathrm{0}\:;\:\mathrm{n}\in\mathbb{Z}^{+} \\ $$$$\bigstar\:\mathrm{n}=\mathrm{1}\:\Rightarrow\:\sqrt[{\mathrm{2}}]{\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)}=\sqrt{\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)} \\ $$$$\Rightarrow\:\sqrt{\mathrm{2}−\mathrm{7x}}=−\mathrm{2x} \\ $$$$\left(\mathrm{1}\right)\:\mathrm{2}−\mathrm{7x}\geqslant\mathrm{0}\:\Rightarrow\:\mathrm{2}\geqslant\mathrm{7x}\:\Rightarrow\:\mathrm{x}\leqslant\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{7}} \\ $$$$\left(\mathrm{2}\right)\:\sqrt{\mathrm{2}−\mathrm{7x}}=−\mathrm{2x}\geqslant\mathrm{0}\:\Rightarrow\:\mathrm{x}\leqslant\mathrm{0}\:\: \\ $$$$\maltese\:\mathrm{x}\leqslant\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{7}}\:\wedge\:\mathrm{x}\leqslant\mathrm{0}\:\Rightarrow\:\mathrm{x}\leqslant\mathrm{0} \\ $$$$\left(\mathrm{3}\right)\:\left(\sqrt{\mathrm{2}−\mathrm{7x}}\right)^{\mathrm{2}} =\left(−\mathrm{2x}\right)^{\mathrm{2}} \\ $$$$\Rightarrow\:\mathrm{2}−\mathrm{7x}=\mathrm{4x}^{\mathrm{2}} \:\Rightarrow\:\mathrm{4x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{7x}−\mathrm{2}=\mathrm{0} \\ $$$$\bigstar\:\mathrm{ax}^{\mathrm{2}} +\mathrm{bx}+\mathrm{c}=\mathrm{0}\:\Rightarrow\:\mathrm{x}_{\mathrm{1},\mathrm{2}} =\frac{−\mathrm{b}\mp\sqrt{\mathrm{b}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4ac}}}{\mathrm{2a}} \\ $$$$\mathrm{x}_{\mathrm{1}} =\frac{−\mathrm{b}−\sqrt{\mathrm{b}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4ac}}}{\mathrm{2a}}=\frac{−\mathrm{7}−\sqrt{\mathrm{7}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4}\centerdot\mathrm{4}\centerdot\left(−\mathrm{2}\right)}}{\mathrm{2}\centerdot\mathrm{4}}=−\mathrm{2} \\ $$$$\mathrm{x}_{\mathrm{2}} =\frac{−\mathrm{b}+\sqrt{\mathrm{b}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4ac}}}{\mathrm{2a}}=\frac{−\mathrm{7}+\sqrt{\mathrm{7}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4}\centerdot\mathrm{4}\centerdot\left(−\mathrm{2}\right)}}{\mathrm{2}\centerdot\mathrm{4}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}} \\ $$$$\left\{\mathrm{x}_{\mathrm{1}} =−\mathrm{2}\:<\:\mathrm{0}\:\wedge\:\mathrm{x}_{\mathrm{2}} =\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\:\nless\:\mathrm{0}\right\} \\ $$$$\sqrt{\mathrm{2}−\mathrm{7x}}+\mathrm{2x}=\mathrm{0}\:\Rightarrow\:\mathrm{x}=−\mathrm{2}\: \\ $$
Answered by john santu last updated on 21/May/20
$$\sqrt{\mathrm{2}−\mathrm{7x}}\:=\:−\mathrm{2x}\:,\:\mathrm{for}\:\mathrm{x}\:<\:\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{squaring}\:\mathrm{in}\:\mathrm{both}\:\mathrm{sides} \\ $$$$\mathrm{2}−\mathrm{7x}\:=\:\mathrm{4x}^{\mathrm{2}} \:\Rightarrow\mathrm{4x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{7x}−\mathrm{2}=\mathrm{0} \\ $$$$\left(\mathrm{4x}−\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{x}+\mathrm{2}\right)\:=\:\mathrm{0}\: \\ $$$$\begin{cases}{\mathrm{x}=−\mathrm{2}\:\left(\:\mathrm{solution}\right)}\\{\mathrm{x}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\:\left(\mathrm{not}\:\mathrm{solution}\right)}\end{cases} \\ $$