Question Number 97250 by mathocean1 last updated on 07/Jun/20
Answered by 1549442205 last updated on 07/Jun/20
Commented by 1549442205 last updated on 07/Jun/20
$$\mathrm{a}/\mathrm{Apply}\:\mathrm{the}\:\mathrm{formula}\:\mathrm{of}\:\mathrm{the}\:\mathrm{median}\:\mathrm{in}\:\mathrm{the}\:\mathrm{triangle} \\ $$$$\mathrm{m}_{\mathrm{a}} =\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\sqrt{\mathrm{2}\left(\mathrm{b}^{\mathrm{2}} +\mathrm{c}^{\mathrm{2}} \right)−\mathrm{a}^{\mathrm{2}} }\Leftrightarrow\mathrm{b}^{\mathrm{2}} +\mathrm{c}^{\mathrm{2}} =\mathrm{2m}_{\mathrm{a}} ^{\mathrm{2}} +\frac{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{Sin}\:\mathrm{MI}\:\mathrm{is}\:\mathrm{the}\:\mathrm{median}\:\mathrm{of}\:\mathrm{the}\:\mathrm{triangle}\:\mathrm{BMC} \\ $$$$\mathrm{we}\:\mathrm{get}\:\mathrm{MB}^{\mathrm{2}} +\mathrm{MC}^{\mathrm{2}} =\mathrm{2MI}^{\mathrm{2}} +\frac{\mathrm{BC}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}=\mathrm{2MI}^{\mathrm{2}} +\mathrm{4}\left(\ast\right)\left(\mathrm{as}\:\mathrm{BC}=\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}\:\right) \\ $$$$\mathrm{we}\:\mathrm{have}\:\mathrm{IB}=\mathrm{IC}=\sqrt{\mathrm{2}}\:.\mathrm{AI}=\sqrt{\mathrm{AB}^{\mathrm{2}} −\mathrm{IB}^{\mathrm{2}} }\:=\sqrt{\mathrm{2}} \\ $$$$.\mathrm{Let}\:\mathrm{K}\:\mathrm{be}\:\mathrm{the}\:\mathrm{point}\:\mathrm{symetry}\:\mathrm{to}\:\mathrm{J}\:\mathrm{through}\:\mathrm{BC} \\ $$$$\mathrm{then}\:\mathrm{AJ}=\mathrm{JK}=\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}\mathrm{AI}=\frac{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}}{\mathrm{3}},\mathrm{AK}=\frac{\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{2}}}{\mathrm{3}} \\ $$$$\mathrm{Since}\:\mathrm{MJ}\:\mathrm{is}\:\mathrm{the}\:\mathrm{median}\:\mathrm{of}\:\Delta\mathrm{MAK}, \\ $$$$\mathrm{MA}^{\mathrm{2}} +\mathrm{MK}^{\mathrm{2}} =\mathrm{2MJ}^{\mathrm{2}} +\frac{\mathrm{AK}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}=\mathrm{2MJ}^{\mathrm{2}} +\frac{\mathrm{16}}{\mathrm{9}}\left(\mathrm{1}\right) \\ $$$$\mathrm{Since}\:\mathrm{MI}\:\mathrm{is}\:\mathrm{the}\:\mathrm{median}\:\mathrm{of}\:\Delta\mathrm{MJK}, \\ $$$$\mathrm{MJ}^{\mathrm{2}} +\mathrm{MK}^{\mathrm{2}} =\mathrm{2MI}^{\mathrm{2}} +\frac{\mathrm{JK}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}=\mathrm{2MI}^{\mathrm{2}} +\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{9}}\left(\mathrm{2}\right) \\ $$$$\mathrm{Substract}\:\mathrm{two}\:\mathrm{equalities}\:\left(\mathrm{1}\right),\left(\mathrm{2}\right)\:\mathrm{we}\:\mathrm{get} \\ $$$$\mathrm{MA}^{\mathrm{2}} −\mathrm{MJ}^{\mathrm{2}} =\mathrm{2MJ}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2MI}^{\mathrm{2}} +\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{3}}.\mathrm{Hence}, \\ $$$$\mathrm{MA}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2MI}^{\mathrm{2}} =\mathrm{3MJ}^{\mathrm{2}} +\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{3}}\left(\mathrm{3}\right). \\ $$$$\mathrm{b}/\mathrm{From}\:\left(\ast\right)\:\mathrm{and}\:\left(\mathrm{3}\right) \\ $$$$\mathrm{we}\:\mathrm{get}\:\mathrm{MA}^{\mathrm{2}} +\mathrm{MB}^{\mathrm{2}} +\mathrm{MC}^{\mathrm{2}} =\mathrm{3MJ}^{\mathrm{2}} +\frac{\mathrm{16}}{\mathrm{3}}\left(\ast\ast\right) \\ $$$$\mathrm{c}/\mathrm{Since}\:\mathrm{the}\:\mathrm{point}\:\mathrm{J}\:\mathrm{is}\:\mathrm{fixed}\:,\mathrm{from}\:\left(\ast\ast\right)\:\mathrm{and}\:\mathrm{the}\: \\ $$$$\mathrm{hypothesis}\:\:\mathrm{MA}^{\mathrm{2}} +\mathrm{MB}^{\mathrm{2}} +\mathrm{MC}^{\mathrm{2}} =\mathrm{8}\:\mathrm{we} \\ $$$$\mathrm{follow}\:\mathrm{that}\:\mathrm{3MJ}^{\mathrm{2}} +\frac{\mathrm{16}}{\mathrm{3}}=\mathrm{8}\Leftrightarrow\mathrm{MJ}=\frac{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}}{\mathrm{3}} \\ $$$$\mathrm{which}\:\mathrm{shows}\:\mathrm{that}\:\mathrm{set}\:\:\left(\mathrm{T}\right)\:\mathrm{of}\:\mathrm{the}\:\mathrm{points}\:\mathrm{M}\: \\ $$$$\mathrm{satisfying}\:\mathrm{MA}^{\mathrm{2}} +\mathrm{MB}^{\mathrm{2}} +\mathrm{MC}^{\mathrm{2}} =\mathrm{8}\:\mathrm{lie}\:\mathrm{on} \\ $$$$\mathrm{the}\:\mathrm{circle}\:\mathrm{has}\:\mathrm{the}\:\mathrm{center}\:\mathrm{be}\:\mathrm{the}\:\mathrm{point}\:\mathrm{J} \\ $$$$\mathrm{and}\:\mathrm{the}\:\mathrm{radius}\:\mathrm{equal}\:\mathrm{to}\:\frac{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}}{\mathrm{3}} \\ $$$$ \\ $$
Commented by mathocean1 last updated on 07/Jun/20
$${Thank}\:{you}\:{sir}….{great}. \\ $$
Commented by 1549442205 last updated on 08/Jun/20
$$\mathrm{you}\:\mathrm{are}\:\mathrm{wellcome}! \\ $$