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Question-97775

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Question Number 97775 by liki last updated on 09/Jun/20
Commented by liki last updated on 09/Jun/20
..i need help
$$..\mathrm{i}\:\mathrm{need}\:\mathrm{help} \\ $$
Commented by Tony Lin last updated on 09/Jun/20
∫(x^2 /(x^2 +bx+12))dx =∫ ((x^2 +bx+12)/(x^2 +bx+12))−(b/2)∫((2x+b)/(x^2 +bx+12))dx −(b/2)∫((((24)/b)−b)/((x+(b/2))^2 +((√(12−(b^2 /4))))^2 ))dx =x−(b/2)ln∣x^2 +bx+12∣+((b^2 −24)/( (√(48−b^2 )))) tan^(−1) ((2x+b)/( (√(48−b^2 ))))+c
$$\int\frac{{x}^{\mathrm{2}} }{{x}^{\mathrm{2}} +{bx}+\mathrm{12}}{dx} \\ $$$$=\int\:\frac{{x}^{\mathrm{2}} +{bx}+\mathrm{12}}{{x}^{\mathrm{2}} +{bx}+\mathrm{12}}−\frac{{b}}{\mathrm{2}}\int\frac{\mathrm{2}{x}+{b}}{{x}^{\mathrm{2}} +{bx}+\mathrm{12}}{dx} \\ $$$$−\frac{{b}}{\mathrm{2}}\int\frac{\frac{\mathrm{24}}{{b}}−{b}}{\left({x}+\frac{{b}}{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{2}} +\left(\sqrt{\mathrm{12}−\frac{{b}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{4}}}\right)^{\mathrm{2}} }{dx} \\ $$$$={x}−\frac{{b}}{\mathrm{2}}{ln}\mid{x}^{\mathrm{2}} +{bx}+\mathrm{12}\mid+\frac{{b}^{\mathrm{2}} −\mathrm{24}}{\:\sqrt{\mathrm{48}−{b}^{\mathrm{2}} }}\:{tan}^{−\mathrm{1}} \frac{\mathrm{2}{x}+{b}}{\:\sqrt{\mathrm{48}−{b}^{\mathrm{2}} }}+{c} \\ $$
Answered by Ar Brandon last updated on 09/Jun/20
I=∫(x^2 /(x^2 +bx+12))dx=∫{1−((bx+12)/(x^2 +bx+12))} =∫{1−(b/2)∙((2x+b)/(x^2 +bx+12))+(((b^2 /2)−12)/(x^2 +bx+12))}dx =∫{1−(b/2)∙((2x+b)/(x^2 +bx+12))+2∙((b^2 −24)/((2x+b)^2 +(48−b^2 )))}dx =x−(b/2)∙ln∣x^2 +bx+12∣+((b^2 −24)/( (√(48−b^2 ))))tan^(−1) [((2x+b)/( (√(48−b^2 ))))]+C
$$\mathcal{I}=\int\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{bx}+\mathrm{12}}\mathrm{dx}=\int\left\{\mathrm{1}−\frac{\mathrm{bx}+\mathrm{12}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{bx}+\mathrm{12}}\right\} \\ $$$$\:\:\:=\int\left\{\mathrm{1}−\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{2}}\centerdot\frac{\mathrm{2x}+\mathrm{b}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{bx}+\mathrm{12}}+\frac{\frac{\mathrm{b}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}−\mathrm{12}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{bx}+\mathrm{12}}\right\}\mathrm{dx} \\ $$$$\:\:\:=\int\left\{\mathrm{1}−\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{2}}\centerdot\frac{\mathrm{2x}+\mathrm{b}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{bx}+\mathrm{12}}+\mathrm{2}\centerdot\frac{\mathrm{b}^{\mathrm{2}} −\mathrm{24}}{\left(\mathrm{2x}+\mathrm{b}\right)^{\mathrm{2}} +\left(\mathrm{48}−\mathrm{b}^{\mathrm{2}} \right)}\right\}\mathrm{dx} \\ $$$$\:\:\:=\mathrm{x}−\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{2}}\centerdot\mathrm{ln}\mid\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{bx}+\mathrm{12}\mid+\frac{\mathrm{b}^{\mathrm{2}} −\mathrm{24}}{\:\sqrt{\mathrm{48}−\mathrm{b}^{\mathrm{2}} }}\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \left[\frac{\mathrm{2x}+\mathrm{b}}{\:\sqrt{\mathrm{48}−\mathrm{b}^{\mathrm{2}} }}\right]+\mathcal{C} \\ $$
Answered by abdomathmax last updated on 09/Jun/20
I =∫ (x^2 /(x^2 +bx +12))dx ⇒I =∫((x^2 +bx+12−bx−12)/(x^2 +bx +12))dx =x−∫ ((bx +12)/(x^2 +bx +12))dx x^2 +bx +12 =0→Δ =b^2 −48 case 1 b^2 −48>0 ⇒x_1 =((−b+(√(b^2 −48)))/2) x_2 =((−b−(√(b^2 −48)))/2) f(x)=((bx +12)/(x^2 +bx +12)) =((bx+12)/((x−x_1 )(x−x_2 ))) =(a/(x−x_1 )) +(b/(x−x_2 )) a =((bx_1 +12)/( (√(b^2 −48)))) and b =−((bx_(2 ) +12)/( (√(b^2 −48)))) ∫f(x)dx =aln∣x−x_1 ∣+bln∣x−x_2 ∣ +c ⇒ I =x−aln∣x−x_1 ∣−bln∣x−x_2 ∣ +C case 2 b^2 −48<0 ⇒((bx+12)/(x^2 +bx +12)) =((bx+12)/(x^2 +2x(b/2) +(b^2 /4)+12−(b^2 /4))) =((bx+12)/((x+(b/2))^2 +((48−b^2 )/4))) we do the changement x+(b/2) =((√(48−b^2 ))/2)u ⇒ ∫ ((bx+12)/(x^2 +bx+12))dx =(4/( (√(48−b^2 ))))∫ ((b(((√(48−b^2 ))/2)u−(b/2))+12)/(1+u^2 ))×((√(48−b^2 ))/2)du =2 ∫ (((√(48−b^2 ))u−(b^2 /2)+12)/(1+u^2 ))du =(√(48−b^2 ))ln(1+u^2 ) +(24−b^2 ) arctan(u) +C =(√(48−b^2 ))ln(1+(((2x+b)/( (√(48−b^2 )))))^2 ) +(24−b^2 ) arctan(((2x+b)/( (√(48−b^2 ))))) +C ⇒ I =x−(√(48−b^2 ))ln(1+(((2x+b)^2 )/(48−b^2 ))) −(24−b^2 )arctan(((2x+b)/( (√(48−b^2 ))))) +C
$$\mathrm{I}\:=\int\:\:\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{bx}\:+\mathrm{12}}\mathrm{dx}\:\Rightarrow\mathrm{I}\:=\int\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{bx}+\mathrm{12}−\mathrm{bx}−\mathrm{12}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{bx}\:+\mathrm{12}}\mathrm{dx} \\ $$$$=\mathrm{x}−\int\:\:\frac{\mathrm{bx}\:+\mathrm{12}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{bx}\:+\mathrm{12}}\mathrm{dx} \\ $$$$\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{bx}\:+\mathrm{12}\:=\mathrm{0}\rightarrow\Delta\:=\mathrm{b}^{\mathrm{2}} −\mathrm{48} \\ $$$$\mathrm{case}\:\mathrm{1}\:\mathrm{b}^{\mathrm{2}} −\mathrm{48}>\mathrm{0}\:\Rightarrow\mathrm{x}_{\mathrm{1}} =\frac{−\mathrm{b}+\sqrt{\mathrm{b}^{\mathrm{2}} −\mathrm{48}}}{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{x}_{\mathrm{2}} =\frac{−\mathrm{b}−\sqrt{\mathrm{b}^{\mathrm{2}} −\mathrm{48}}}{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{\mathrm{bx}\:+\mathrm{12}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{bx}\:+\mathrm{12}}\:=\frac{\mathrm{bx}+\mathrm{12}}{\left(\mathrm{x}−\mathrm{x}_{\mathrm{1}} \right)\left(\mathrm{x}−\mathrm{x}_{\mathrm{2}} \right)}\:=\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{x}−\mathrm{x}_{\mathrm{1}} }\:+\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{x}−\boldsymbol{\mathrm{x}}_{\mathrm{2}} } \\ $$$$\boldsymbol{\mathrm{a}}\:=\frac{\boldsymbol{\mathrm{bx}}_{\mathrm{1}} +\mathrm{12}}{\:\sqrt{\boldsymbol{\mathrm{b}}^{\mathrm{2}} −\mathrm{48}}}\:\boldsymbol{\mathrm{and}}\:\boldsymbol{\mathrm{b}}\:=−\frac{\boldsymbol{\mathrm{bx}}_{\mathrm{2}\:} +\mathrm{12}}{\:\sqrt{\boldsymbol{\mathrm{b}}^{\mathrm{2}} −\mathrm{48}}} \\ $$$$\int\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}\:=\mathrm{aln}\mid\mathrm{x}−\mathrm{x}_{\mathrm{1}} \mid+\mathrm{bln}\mid\mathrm{x}−\mathrm{x}_{\mathrm{2}} \mid\:+\mathrm{c}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{I}\:=\mathrm{x}−\mathrm{aln}\mid\mathrm{x}−\mathrm{x}_{\mathrm{1}} \mid−\mathrm{bln}\mid\mathrm{x}−\mathrm{x}_{\mathrm{2}} \mid\:+\mathrm{C} \\ $$$$\mathrm{case}\:\mathrm{2}\:\:\mathrm{b}^{\mathrm{2}} −\mathrm{48}<\mathrm{0}\:\Rightarrow\frac{\mathrm{bx}+\mathrm{12}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{bx}\:+\mathrm{12}} \\ $$$$=\frac{\mathrm{bx}+\mathrm{12}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{2x}\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{2}}\:+\frac{\mathrm{b}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{4}}+\mathrm{12}−\frac{\mathrm{b}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{4}}}\:=\frac{\mathrm{bx}+\mathrm{12}}{\left(\mathrm{x}+\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{2}} \:+\frac{\mathrm{48}−\mathrm{b}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{4}}} \\ $$$$\mathrm{we}\:\mathrm{do}\:\mathrm{the}\:\mathrm{changement}\:\mathrm{x}+\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{2}}\:=\frac{\sqrt{\mathrm{48}−\mathrm{b}^{\mathrm{2}} }}{\mathrm{2}}\mathrm{u}\:\Rightarrow \\ $$$$\int\:\:\frac{\mathrm{bx}+\mathrm{12}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{bx}+\mathrm{12}}\mathrm{dx}\:=\frac{\mathrm{4}}{\:\sqrt{\mathrm{48}−\mathrm{b}^{\mathrm{2}} }}\int\:\:\frac{\mathrm{b}\left(\frac{\sqrt{\mathrm{48}−\mathrm{b}^{\mathrm{2}} }}{\mathrm{2}}\mathrm{u}−\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{2}}\right)+\mathrm{12}}{\mathrm{1}+\mathrm{u}^{\mathrm{2}} }×\frac{\sqrt{\mathrm{48}−\mathrm{b}^{\mathrm{2}} }}{\mathrm{2}}\mathrm{du} \\ $$$$=\mathrm{2}\:\int\:\:\frac{\sqrt{\mathrm{48}−\mathrm{b}^{\mathrm{2}} }\mathrm{u}−\frac{\mathrm{b}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}+\mathrm{12}}{\mathrm{1}+\mathrm{u}^{\mathrm{2}} }\mathrm{du} \\ $$$$=\sqrt{\mathrm{48}−\mathrm{b}^{\mathrm{2}} }\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+\mathrm{u}^{\mathrm{2}} \right)\:+\left(\mathrm{24}−\mathrm{b}^{\mathrm{2}} \right)\:\mathrm{arctan}\left(\mathrm{u}\right)\:+\mathrm{C} \\ $$$$=\sqrt{\mathrm{48}−\mathrm{b}^{\mathrm{2}} }\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+\left(\frac{\mathrm{2x}+\mathrm{b}}{\:\sqrt{\mathrm{48}−\mathrm{b}^{\mathrm{2}} }}\right)^{\mathrm{2}} \right) \\ $$$$+\left(\mathrm{24}−\mathrm{b}^{\mathrm{2}} \right)\:\mathrm{arctan}\left(\frac{\mathrm{2x}+\mathrm{b}}{\:\sqrt{\mathrm{48}−\mathrm{b}^{\mathrm{2}} }}\right)\:+\mathrm{C}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{I}\:=\mathrm{x}−\sqrt{\mathrm{48}−\mathrm{b}^{\mathrm{2}} }\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+\frac{\left(\mathrm{2x}+\mathrm{b}\right)^{\mathrm{2}} }{\mathrm{48}−\mathrm{b}^{\mathrm{2}} }\right) \\ $$$$−\left(\mathrm{24}−\mathrm{b}^{\mathrm{2}} \right)\mathrm{arctan}\left(\frac{\mathrm{2x}+\mathrm{b}}{\:\sqrt{\mathrm{48}−\mathrm{b}^{\mathrm{2}} }}\right)\:+\mathrm{C} \\ $$
Answered by niroj last updated on 09/Jun/20
∫ (( x^2 )/(x^2 +bx +12))dx = ∫ (( x^2 +bx+12−bx−12)/(x^2 +bx+12))dx = ∫ ((x^2 +bx+12)/(x^2 +bx+12))dx−∫ ((bx+12)/(x^2 +bx+12))dx = ∫dx −∫ (( (b/2)(2x+b)+12−(b^2 /2))/(x^2 +bx+12))dx = ∫dx−(b/2)∫ (((2x+b))/(x^2 +bx+12))dx −(12−(b^2 /2))∫ (1/(x^2 +bx+12))dx = ∫dx −(b/2)∫ (((2x+b))/(x^2 +bx+12))dx−(12−(b^2 /2))∫ (( 1)/((x)^2 +2x.(b/2)+(b^2 /4)−(b^2 /4)+12))dx = ∫dx − (b/2) ∫ (((2x+b)dx)/(x^2 +bx+12)) −(12−(b^2 /2))∫ (1/((x+(b/2))^2 −(((b^2 −48)/4))))dx = ∫dx −(b/2)∫ (((2x+b)dx)/(x^2 +bx+12)) −(12−(b^2 /2))∫ (1/((x+(b/2))^2 −(((√(b^2 −48))/2))^2 ))dx = x −(b/2)log (x^2 +bx+12) −(12−(b^2 /2)).(1/(2.((√(b^2 −48))/2)))log ((x+(b/2) − ((√(b^2 −48))/2))/(x+(b/2)+((√(b^2 −48))/2))) +C = x −(b/2)log (x^2 +bx+12)−(12−(b^2 /2))(1/( (√(b^2 −48)))) log ((2x−b−(√(b^2 −48)))/(2x+b+(√(b^2 −48)))) +C //.
$$\:\int\:\frac{\:\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{bx}\:+\mathrm{12}}\mathrm{dx} \\ $$$$\:=\:\int\:\frac{\:\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{bx}+\mathrm{12}−\mathrm{bx}−\mathrm{12}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{bx}+\mathrm{12}}\mathrm{dx} \\ $$$$\:=\:\int\:\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{bx}+\mathrm{12}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{bx}+\mathrm{12}}\mathrm{dx}−\int\:\frac{\mathrm{bx}+\mathrm{12}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{bx}+\mathrm{12}}\mathrm{dx} \\ $$$$\:=\:\int\mathrm{dx}\:\:−\int\:\frac{\:\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{2}}\left(\mathrm{2x}+\mathrm{b}\right)+\mathrm{12}−\frac{\mathrm{b}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{bx}+\mathrm{12}}\mathrm{dx} \\ $$$$\:=\:\int\mathrm{dx}−\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{2}}\int\:\frac{\left(\mathrm{2x}+\mathrm{b}\right)}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{bx}+\mathrm{12}}\mathrm{dx}\:−\left(\mathrm{12}−\frac{\mathrm{b}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}\right)\int\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{bx}+\mathrm{12}}\mathrm{dx} \\ $$$$=\:\int\mathrm{dx}\:−\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{2}}\int\:\frac{\left(\mathrm{2x}+\mathrm{b}\right)}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{bx}+\mathrm{12}}\mathrm{dx}−\left(\mathrm{12}−\frac{\mathrm{b}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}\right)\int\:\frac{\:\mathrm{1}}{\left(\mathrm{x}\right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{2x}.\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{b}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{4}}−\frac{\mathrm{b}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{4}}+\mathrm{12}}\mathrm{dx} \\ $$$$\:=\:\int\mathrm{dx}\:−\:\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{2}}\:\int\:\:\frac{\left(\mathrm{2x}+\mathrm{b}\right)\mathrm{dx}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{bx}+\mathrm{12}}\:−\left(\mathrm{12}−\frac{\mathrm{b}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}\right)\int\:\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{x}+\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{2}} −\left(\frac{\mathrm{b}^{\mathrm{2}} −\mathrm{48}}{\mathrm{4}}\right)}\mathrm{dx} \\ $$$$\:=\:\int\mathrm{dx}\:−\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{2}}\int\:\frac{\left(\mathrm{2x}+\mathrm{b}\right)\mathrm{dx}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{bx}+\mathrm{12}}\:\:−\left(\mathrm{12}−\frac{\mathrm{b}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}\right)\int\:\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{x}+\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{2}} −\left(\frac{\sqrt{\mathrm{b}^{\mathrm{2}} −\mathrm{48}}}{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{2}} }\mathrm{dx} \\ $$$$\:\:\:=\:\mathrm{x}\:−\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{2}}\mathrm{log}\:\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{bx}+\mathrm{12}\right)\:−\left(\mathrm{12}−\frac{\mathrm{b}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}\right).\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}.\frac{\sqrt{\mathrm{b}^{\mathrm{2}} −\mathrm{48}}}{\mathrm{2}}}\mathrm{log}\:\frac{\mathrm{x}+\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{2}}\:−\:\frac{\sqrt{\mathrm{b}^{\mathrm{2}} −\mathrm{48}}}{\mathrm{2}}}{\mathrm{x}+\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{2}}+\frac{\sqrt{\mathrm{b}^{\mathrm{2}} −\mathrm{48}}}{\mathrm{2}}}\:+\mathrm{C} \\ $$$$\:\:=\:\mathrm{x}\:−\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{2}}\mathrm{log}\:\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{bx}+\mathrm{12}\right)−\left(\mathrm{12}−\frac{\mathrm{b}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}\right)\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{b}^{\mathrm{2}} −\mathrm{48}}}\:\mathrm{log}\:\:\frac{\mathrm{2x}−\mathrm{b}−\sqrt{\mathrm{b}^{\mathrm{2}} −\mathrm{48}}}{\mathrm{2x}+\mathrm{b}+\sqrt{\mathrm{b}^{\mathrm{2}} −\mathrm{48}}}\:+\mathrm{C}\://. \\ $$$$\:\: \\ $$

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