Question Number 98594 by bemath last updated on 15/Jun/20
Answered by bobhans last updated on 15/Jun/20
$$\int\:\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}} \:\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2x}+\mathrm{1}\right)\:\mathrm{dx}\:=\:\int\:\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}} \:\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:\mathrm{dx}\:+\:\int\:\mathrm{2x}\:\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}} \:\mathrm{dx}\:+\:\int\:\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}} \:\mathrm{dx} \\ $$$$\mathrm{I}_{\mathrm{1}} \:=\:\int\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}} \mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:\mathrm{dx}\:=\:\int\mathrm{x}\:\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}} \:\mathrm{d}\left(\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}\right)\:=\:\mathrm{xe}^{\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}} \:−\int\:\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}} \:\mathrm{dx} \\ $$$$\mathrm{I}_{\mathrm{2}} \:=\:\int\:\mathrm{2xe}^{\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}} \:\mathrm{dx}\:=\:\mathrm{2}\int\:\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}} \:\mathrm{d}\left(\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}\right)\:=\:\mathrm{2e}^{\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}} \\ $$$$\mathrm{I}_{\mathrm{3}} \:=\:\int\:\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}} \:\mathrm{dx}\: \\ $$$$\therefore\mathrm{I}\:=\:\mathrm{I}_{\mathrm{1}} \:+\:\mathrm{I}_{\mathrm{2}} \:+\:\mathrm{I}_{\mathrm{3}} \:=\:\mathrm{xe}^{\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}} +\:\mathrm{2e}^{\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}} \:=\:\left(\mathrm{x}+\mathrm{2}\right)\:\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}} \:+\:\mathrm{C} \\ $$